Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
R(s)+51s(s + 2)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 5/(s(s + 2)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ωd.

L(s) = 5/(s(s + 2))
ωd = rad/s
2.Facile
R(s)+K5s + 2C(s)−

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 5/(s + 2) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −7.

G(s) = 5/(s + 2)p = −7
K =
3.Moyen
R(s)+Ks + 8(s − 4)(s + 1)C(s)−

Le procédé G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 1)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain Kmin qui rend la boucle fermée stable.

G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 1))
Kmin =
4.Moyen
R(s)+K1s(s + 6)(s + 8)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8))
Kmax =
5.Difficile
ReImζ = 0,8−2−4−6−8−10−12j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,8.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,8
K =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−8−9−101j1j2−0,5

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −0,5.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8))s = −0,5
K =

Corrigé

  1. 1. ωd = 2 rad/s
  2. 2. K = 1
  3. 3. Kmin = 3
  4. 4. Kmax = 672
  5. 5. K = 39,06
  6. 6. K = 5,625

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