Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + 7s² − 5s + 13. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 10/(s(s + 6)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ω_d.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Le procédé G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 5)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 14)/(s(s + 6)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −6, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 6)/(s(s + 8)(s + 2)). Trouvez le point σ_a où les asymptotes du lieu des racines coupent l’axe réel.