1.Facile
Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 5/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −10.
G(s) = 5/(s + 5)p = −10
K =
Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé
2.Facile
Pour le polynôme caractéristique Q(s) = 2s³ + 4s² + 6s + 29, trouvez l’élément b1 de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.
Q(s) = 2s³ + 4s² + 6s + 29
b1 =
3.Moyen
La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))
ω = rad/s
4.Moyen
La boucle du schéma fonctionne avec K = 7,5 et L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?
L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5))K = 7,5
m =
5.Difficile
Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,707.
L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,707
K =
6.Difficile
Pour L(s) = K/((s + 5)(s² + 6s + 13)), trouvez l’angle de départ θd du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.
L(s) = K/((s + 5)(s² + 6s + 13))
θd = °
Corrigé
- 1. K = 1
- 2. b1 = −8,5
- 3. ω = 5,477 rad/s
- 4. m = 4
- 5. K = 50,02
- 6. θd = 45 °
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