Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 10s + 40 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + 7s² + 3s + 13. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

La boucle du schéma fonctionne avec K = 27 et L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 6)/(s(s + 1)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Pour L(s) = K/((s + 5)(s² + 8s + 32)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 5)(s + 10)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5. Trouvez le point de séparation s_b.