Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 2/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −9.

Un système en boucle fermée a pour équation caractéristique s³ + 3s² + 2s + 8 = 0. Utilisez le critère de Routh–Hurwitz pour trouver le nombre N de pôles en boucle fermée situés dans le demi-plan droit du plan s.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 2)(s + 6)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le procédé G(s) = (s + 4)/((s − 1)(s + 5)) a un pôle instable en s = 1. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 3)(s + 9)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 6)(s + 12)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.