Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 13/(s(s + 4)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ω_d.

Un régulateur proportionnel de gain K = 2 commande le procédé G(s) = 2/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 2)(s + 4)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 1)(s + 5)(s + 6)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

Pour L(s) = K/((s + 7)(s² + 2s + 17)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.