Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³14s²a12s¹(4·a − 12)/as⁰12

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 4s + 12 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 4s + 12 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K = 35s + 1C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 3 commande le procédé G(s) = 5/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 5/(s + 1)K = 3
p =
3.Moyen
R(s)+Ks + 1(s − 1)(s + 3)C(s)−

Le procédé G(s) = (s + 1)/((s − 1)(s + 3)) a un pôle instable en s = 1. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain Kmin qui rend la boucle fermée stable.

G(s) = (s + 1)/((s − 1)(s + 3))
Kmin =
4.Moyen
R(s)+Ks + 11s(s + 3)(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 11)/(s(s + 3)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 11)/(s(s + 3)(s + 4))
Kmax =
5.Difficile
ReImζ = 0,8−2−4−6−8−10−12j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,8.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,8
K =
6.Difficile
ReIm−2−4−6j2j4j6

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 6)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 6))
ω = rad/s

Corrigé

  1. 1. a = 3
  2. 2. p = −16
  3. 3. Kmin = 3
  4. 4. Kmax = 21
  5. 5. K = 39,06
  6. 6. ω = 5,831 rad/s

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