Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+K = 22s + 5C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 2 commande le procédé G(s) = 2/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 2/(s + 5)K = 2
p =
2.Facile
s³110s²a15s¹(10·a − 15)/as⁰15

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 10s + 15 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 10s + 15 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+K = 661s(s + 3)(s + 8)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 66 et L(s) = K/(s(s + 3)(s + 8)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 8))K = 66
m =
4.Moyen
R(s)+K1s(s + 6)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 11)/(s(s + 3)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −3, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de jonction si.

L(s) = K(s + 11)/(s(s + 3))
si =
6.Difficile
ReImζ = 0,8−1−2−3−4−5−6−71j1j2

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 6)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,8.

L(s) = K/(s(s + 6))ζ = 0,8
K =

Corrigé

  1. 1. p = −9
  2. 2. a = 1,5
  3. 3. m = 4
  4. 4. Kmax = 960
  5. 5. si = −20,38
  6. 6. K = 14,06

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