Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 5s³ + 4s² − 13s + 7. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Un régulateur proportionnel de gain K = 4 commande le procédé G(s) = 2/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le procédé G(s) = (s + 2)/((s − 3)(s + 1)) a un pôle instable en s = 3. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 11)/(s(s + 3)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −3, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 6)(s + 8)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.