Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³13s²a9s¹(3·a − 9)/as⁰9

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 3s + 9 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 3s + 9 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K1s + 1C(s)−

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 1/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −6.

G(s) = 1/(s + 1)p = −6
K =
3.Moyen
R(s)+K = 481s(s + 4)(s + 8)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 48 et L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8))K = 48
m =
4.Moyen
R(s)+K1(s + 3)(s + 4)(s + 6)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−71j1j2

Pour L(s) = K/((s + 6)(s² + 4s + 8)), trouvez l’angle de départ θd du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.

L(s) = K/((s + 6)(s² + 4s + 8))
θd = °
6.Difficile
ReImζ = 0,8−2−4−6−8−10−12j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,8.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,8
K =

Corrigé

  1. 1. a = 3
  2. 2. K = 5
  3. 3. m = 8
  4. 4. Kmax = 630
  5. 5. θd = 63,43 °
  6. 6. K = 39,06

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