Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un système en boucle fermée a pour équation caractéristique s³ + 3s² − 3s − 17 = 0. Utilisez le critère de Routh–Hurwitz pour trouver le nombre N de pôles en boucle fermée situés dans le demi-plan droit du plan s.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 20/(s(s + 4)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ω_d.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 1)(s + 5)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 6)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 6)(s + 12)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 8)/(s(s + 6)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −6, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.