Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 8s + 40 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Pour le polynôme caractéristique Q(s) = s³ + 6s² + 10s + 21, trouvez l’élément b₁ de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.

Le procédé G(s) = (s + 2)/((s − 2)(s + 5)) a un pôle instable en s = 2. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le procédé G(s) = (s + 1)/((s − 3)(s + 1)) a un pôle instable en s = 3. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 3)/(s(s + 1)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −1, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de jonction s_i.

Pour L(s) = K/((s + 1)(s² + 8s + 25)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.