Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+K = 0,52s + 4C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 0,5 commande le procédé G(s) = 2/(s + 4) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 2/(s + 4)K = 0,5
p =
2.Facile
R(s)+201s(s + 8)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 20/(s(s + 8)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ωd.

L(s) = 20/(s(s + 8))
ωd = rad/s
3.Moyen
R(s)+Ks + 8(s − 4)(s + 5)C(s)−

Le procédé G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 5)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain Kmin qui rend la boucle fermée stable.

G(s) = (s + 8)/((s − 4)(s + 5))
Kmin =
4.Moyen
R(s)+K1s(s + 6)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))
Kmax =
5.Difficile
ReImζ = 0,4−5−10j5j10

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 8)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,4.

L(s) = K/(s(s + 8))ζ = 0,4
K =
6.Difficile
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,5−3−3,5−4−4,5−50,5j0,5j1−1,5

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −1,5.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4))s = −1,5
K =

Corrigé

  1. 1. p = −5
  2. 2. ωd = 2 rad/s
  3. 3. Kmin = 2,5
  4. 4. Kmax = 960
  5. 5. K = 100
  6. 6. K = 5,625

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