Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + s² + 12s − 6. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 2/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −6.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

La boucle du schéma utilise une contre-réaction positive, avec L(s) = 5/(s(s + 1)(s + 3)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 13)/(s(s + 5)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/(s(s + 10)(s + 1)). Trouvez le point σ_a où les asymptotes du lieu des racines coupent l’axe réel.