Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Une boucle à retour unitaire a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = 32/(s(s + 8)). Les pôles en boucle fermée sont complexes. Trouvez leur partie imaginaire ω_d.

Pour le polynôme caractéristique Q(s) = 2s³ + 4s² + 4s + 1, trouvez l’élément b₁ de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)). Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 5)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

Pour L(s) = K/((s + 6)(s² + 2s + 17)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.