Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+K = 42s + 5C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 4 commande le procédé G(s) = 2/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 2/(s + 5)K = 4
p =
2.Facile
s³14s²a16s¹(4·a − 16)/as⁰16

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 4s + 16 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 4s + 16 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+K1s(s + 6)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 6)(s + 10))
Kmax =
4.Moyen
R(s)+K = 5,251s(s + 1)(s + 6)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 5,25 et L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 6))K = 5,25
m =
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12−14−16j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 13)/(s(s + 8)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −8, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K(s + 13)/(s(s + 8))
sb =
6.Difficile
ReImζ = 0,4−5−10j5j10

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,4.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,4
K =

Corrigé

  1. 1. p = −13
  2. 2. a = 4
  3. 3. Kmax = 960
  4. 4. m = 8
  5. 5. sb = −4,938
  6. 6. K = 156,2

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