Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Pour le polynôme caractéristique Q(s) = s³ + 6s² + 6s + 30, trouvez l’élément b₁ de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 10/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −60.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Le procédé G(s) = (s + 10)/((s − 1)(s + 5)) a un pôle instable en s = 1. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 3)(s + 9)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 5)(s + 6)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5. Trouvez le point de séparation s_b.