Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 3s + 9 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 4s³ + s² + s − 8. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −1.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 2)(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.