Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+K = 55s + 10C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 5 commande le procédé G(s) = 5/(s + 10) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 5/(s + 10)K = 5
p =
2.Facile
R(s)+K = 0,51s + 4C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 0,5 commande le procédé G(s) = 1/(s + 4) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 1/(s + 4)K = 0,5
p =
3.Moyen
R(s)+Ks + 10(s − 4)(s + 5)C(s)−

Le procédé G(s) = (s + 10)/((s − 4)(s + 5)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain Kmin qui rend la boucle fermée stable.

G(s) = (s + 10)/((s − 4)(s + 5))
Kmin =
4.Moyen
R(s)+Ks + 9s(s + 1)(s + 3)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 9)/(s(s + 1)(s + 3)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 9)/(s(s + 1)(s + 3))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−2−4−6j2j4

Pour L(s) = K/((s + 6)(s² + 4s + 20)), trouvez l’angle de départ θd du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.

L(s) = K/((s + 6)(s² + 4s + 20))
θd = °
6.Difficile
ReImζ = 0,5−2−4j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,5.

L(s) = K/(s(s + 4))ζ = 0,5
K =

Corrigé

  1. 1. p = −35
  2. 2. p = −4,5
  3. 3. Kmin = 2
  4. 4. Kmax = 2,4
  5. 5. θd = 45 °
  6. 6. K = 16

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