Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
s³36s²124s¹?s⁰

Pour le polynôme caractéristique Q(s) = 3s³ + s² + 6s + 24, trouvez l’élément b1 de la première colonne sur la ligne s¹ du tableau de Routh.

Q(s) = 3s³ + s² + 6s + 24
b1 =
2.Facile
s⁴1618s³44s²??s¹?s⁰?

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 4s + 18. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 4s + 18
N =
3.Moyen
R(s)+K1s(s + 3)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))
Kmax =
4.Moyen
R(s)+K = 961s(s + 2)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 96 et L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10))K = 96
m =
5.Difficile
ReImζ = 0,6−5−10j5

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,6.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,6
K =
6.Difficile
ReIm−0,5−1−1,5−2−2,5−3−3,5−4−4,5−50,5j0,5j1

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −2. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))
sb =

Corrigé

  1. 1. b1 = −66
  2. 2. N = 2
  3. 3. Kmax = 390
  4. 4. m = 2,5
  5. 5. K = 69,44
  6. 6. sb = −0,8453

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