Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³110s²a40s¹(10·a − 40)/as⁰40

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 10s + 40 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 10s + 40 = 0
a =
2.Facile
s³18s²a40s¹(8·a − 40)/as⁰40

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 8s + 40 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 8s + 40 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+501s(s + 5)(s + 8)C(s)+

La boucle du schéma utilise une contre-réaction positive, avec L(s) = 50/(s(s + 5)(s + 8)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

L(s) = 50/(s(s + 5)(s + 8))
N =
4.Moyen
R(s)+Ks + 5s(s + 1)(s + 3)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 5)/(s(s + 1)(s + 3)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 5)/(s(s + 1)(s + 3))
Kmax =
5.Difficile
ReImζ = 0,707−0,5−1−1,5−2−2,50,5j0,5j1

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 2)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,707.

L(s) = K/(s(s + 2))ζ = 0,707
K =
6.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2sb​

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 2)(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation sb, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.

L(s) = K/((s + 2)(s + 10))
K =

Corrigé

  1. 1. a = 4
  2. 2. a = 5
  3. 3. N = 1
  4. 4. Kmax = 12
  5. 5. K = 2,001
  6. 6. K = 16

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