Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 2s + 5 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 2s³ + 8s² − 4s + 10. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

La boucle du schéma utilise une contre-réaction positive, avec L(s) = 2/(s(s + 2)(s + 6)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 5)/(s(s + 2)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −2, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de jonction s_i.

Pour L(s) = K/((s + 3)(s² + 4s + 8)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.