Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
R(s)+K = 51s + 1C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 5 commande le procédé G(s) = 1/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 1/(s + 1)K = 5
p =
2.Facile
s³12s²a16s¹(2·a − 16)/as⁰16

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 2s + 16 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 2s + 16 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+K1s(s + 2)(s + 10)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 10))
ω = rad/s
4.Moyen
R(s)+K = 321s(s + 2)(s + 6)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 32 et L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 6))K = 32
m =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−7−81j1j2

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 7)/(s(s + 5)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K(s + 7)/(s(s + 5))
sb =
6.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−71j1j2

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −4. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 6))
sb =

Corrigé

  1. 1. p = −6
  2. 2. a = 8
  3. 3. ω = 4,472 rad/s
  4. 4. m = 3
  5. 5. sb = −3,258
  6. 6. sb = −1,569

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