Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 2s + 3 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 10/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −10.

Le procédé G(s) = (s + 10)/((s − 4)(s + 1)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 3)(s + 9)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K(s + 4)/(s(s + 1)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −1, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation s_b.