Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 3s + 6 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + 5s² + 15s + 12. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Le procédé G(s) = (s + 5)/((s − 4)(s + 5)) a un pôle instable en s = 4. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 10)/(s(s + 3)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 8)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,3.

Pour L(s) = K/((s + 5)(s² + 4s + 13)), trouvez l’angle de départ θ_d du lieu des racines depuis le pôle complexe du demi-plan supérieur, mesuré à partir de l’axe réel positif.