Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³15s²a40s¹(5·a − 40)/as⁰40

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 5s + 40 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 5s + 40 = 0
a =
2.Facile
s³16s²a12s¹(6·a − 12)/as⁰12

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 6s + 12 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 6s + 12 = 0
a =
3.Moyen
R(s)+K1s(s + 2)(s + 5)C(s)−

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5)). Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 5))
Kmax =
4.Moyen
R(s)+K = 801s(s + 2)(s + 8)C(s)−

La boucle du schéma fonctionne avec K = 80 et L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 8))K = 80
m =
5.Difficile
ReIm−2−4−6−8−10−12j2−1,5

Pour la boucle L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)), trouvez le gain K qui place un pôle en boucle fermée en s = −1,5.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))s = −1,5
K =
6.Difficile
ReImζ = 0,6−2−4−6−8−10j2j4j6

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 8)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,6.

L(s) = K/(s(s + 8))ζ = 0,6
K =

Corrigé

  1. 1. a = 8
  2. 2. a = 2
  3. 3. Kmax = 70
  4. 4. m = 2
  5. 5. K = 31,88
  6. 6. K = 44,44

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