Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un régulateur proportionnel de gain K = 3 commande le procédé G(s) = 2/(s + 2) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + 2s³ + 4s² − 14s + 8. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 1)(s + 10)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 4)(s + 10)(s + 6)(s + 1)). Trouvez le point σ_a où les asymptotes du lieu des racines coupent l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 5)(s + 10)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −5. Trouvez le point de séparation s_b.