Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile

Un système en boucle fermée a pour équation caractéristique s³ − 5s² − 5s + 6 = 0. Utilisez le critère de Routh–Hurwitz pour trouver le nombre N de pôles en boucle fermée situés dans le demi-plan droit du plan s.

Q(s) = s³ − 5s² − 5s + 6

N =

2.Facile

Un régulateur proportionnel de gain K = 4 commande le procédé G(s) = 1/(s + 1) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 1/(s + 1)K = 4

p =

3.Moyen

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K/((s + 1)(s + 3)(s + 5))

K_max =

4.Moyen

La boucle du schéma utilise une contre-réaction positive, avec L(s) = 2/(s(s + 6)(s + 10)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

L(s) = 2/(s(s + 6)(s + 10))

N =

5.Difficile

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 10)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,6.

L(s) = K/(s(s + 10))ζ = 0,6

K =

6.Difficile

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

L(s) = K/((s + 3)(s + 4)(s + 6))

ω = rad/s

Corrigé

1. N = 2
2. p = −5
3. K_max = 192
4. N = 1
5. K = 69,44
6. ω = 7,348 rad/s

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