Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³18s²a64s¹(8·a − 64)/as⁰64

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 8s + 64 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 8s + 64 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K5s + 4C(s)−

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 5/(s + 4) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −11,5.

G(s) = 5/(s + 4)p = −11,5
K =
3.Moyen
R(s)+181s(s + 1)(s + 2)C(s)−

La boucle du schéma a une contre-réaction négative et L(s) = 18/(s(s + 1)(s + 2)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

L(s) = 18/(s(s + 1)(s + 2))
N =
4.Moyen
R(s)+Ks + 9s(s + 3)(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 9)/(s(s + 3)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 9)/(s(s + 3)(s + 4))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−1−2−3−4−5−6−71j1j2

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −3. Trouvez le point de séparation sb.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6))
sb =
6.Difficile
ReImζ = 0,707−2−4−6−8−10j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 8)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,707.

L(s) = K/(s(s + 8))ζ = 0,707
K =

Corrigé

  1. 1. a = 8
  2. 2. K = 1,5
  3. 3. N = 2
  4. 4. Kmax = 42
  5. 5. sb = −1,268
  6. 6. K = 32,01

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