Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 10/(s + 4) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −44.

Le polynôme caractéristique d’un système bouclé est Q(s) = s⁴ + s³ + 5s² + 11s + 6. Construisez le tableau de Routh et trouvez combien de racines N de Q(s) se trouvent dans le demi-plan droit.

La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 3)(s + 4)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.

Le procédé G(s) = (s + 4)/((s − 2)(s + 3)) a un pôle instable en s = 2. Un gain proportionnel K ferme une boucle à retour unitaire autour de lui. Trouvez le plus petit gain K_min qui rend la boucle fermée stable.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 5)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 1)(s + 7)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.