Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Un gain proportionnel K commande le procédé G(s) = 5/(s + 5) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le gain K qui place le pôle en boucle fermée en s = −15.

Un système en boucle fermée a pour équation caractéristique s³ − 3s² − 5s + 12 = 0. Utilisez le critère de Routh–Hurwitz pour trouver le nombre N de pôles en boucle fermée situés dans le demi-plan droit du plan s.

La boucle du schéma fonctionne avec K = 144 et L(s) = K/(s(s + 8)(s + 10)). De quel facteur m peut-on augmenter le gain avant que la boucle fermée ne devienne instable ?

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K/((s + 3)(s + 5)(s + 6)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain K_max pour lequel la boucle fermée est stable.

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 10)/(s(s + 1)(s + 6)). Trouvez le point σ_a où les asymptotes du lieu des racines coupent l’axe réel.

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 5)(s + 13)) est représenté. Trouvez le gain K au point de séparation s_b, où les deux pôles en boucle fermée se rejoignent sur l’axe réel.