Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé

Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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1.Facile
s³12s²a5s¹(2·a − 5)/as⁰5

L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 2s + 5 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.

s³ + a·s² + 2s + 5 = 0
a =
2.Facile
R(s)+K = 510s + 2C(s)−

Un régulateur proportionnel de gain K = 5 commande le procédé G(s) = 10/(s + 2) dans une boucle à retour unitaire. Trouvez le pôle en boucle fermée p.

G(s) = 10/(s + 2)K = 5
p =
3.Moyen
R(s)+4861s(s + 3)(s + 6)C(s)−

La boucle du schéma a une contre-réaction négative et L(s) = 486/(s(s + 3)(s + 6)). Combien de pôles N en boucle fermée se trouvent dans le demi-plan droit ?

L(s) = 486/(s(s + 3)(s + 6))
N =
4.Moyen
R(s)+Ks + 11s(s + 2)(s + 4)C(s)−

Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.

L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4))
Kmax =
5.Difficile
ReIm−2−4j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 4)) est esquissé. Trouvez la fréquence ω à laquelle le lieu coupe l’axe imaginaire.

L(s) = K/((s + 2)(s + 3)(s + 4))
ω = rad/s
6.Difficile
ReImζ = 0,4−2−4j2j4

Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)) est représenté. Trouvez le gain K pour lequel les pôles en boucle fermée ont le coefficient d’amortissement ζ = 0,4.

L(s) = K/(s(s + 4))ζ = 0,4
K =

Corrigé

  1. 1. a = 2,5
  2. 2. p = −52
  3. 3. N = 2
  4. 4. Kmax = 9,6
  5. 5. ω = 5,099 rad/s
  6. 6. K = 25

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