1.Facile
L’équation caractéristique d’une boucle fermée est s³ + a·s² + 8s + 20 = 0. Trouvez la valeur a au-dessus de laquelle le système est stable.
s³ + a·s² + 8s + 20 = 0
a =
Fiche d’exercices de Stabilité : Routh–Hurwitz et lieu des racines avec corrigé
2.Facile
Un système en boucle fermée a pour équation caractéristique s³ − 5s² − 8s + 5 = 0. Utilisez le critère de Routh–Hurwitz pour trouver le nombre N de pôles en boucle fermée situés dans le demi-plan droit du plan s.
Q(s) = s³ − 5s² − 8s + 5
N =
3.Moyen
La boucle du schéma a pour fonction de transfert en boucle ouverte L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10)). On augmente le gain jusqu’à amener la boucle fermée à la limite de stabilité. Trouvez la fréquence ω de l’oscillation entretenue.
L(s) = K/(s(s + 3)(s + 10))
ω = rad/s
4.Moyen
Une boucle à retour unitaire a pour fonction L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4)), avec K > 0. Trouvez le plus grand gain Kmax pour lequel la boucle fermée est stable.
L(s) = K(s + 11)/(s(s + 2)(s + 4))
Kmax =
5.Difficile
Le lieu des racines de L(s) = K(s + 6)/(s(s + 3)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −3, fait une boucle et rejoint l’axe réel à gauche du zéro. Trouvez le point de séparation sb.
L(s) = K(s + 6)/(s(s + 3))
sb =
6.Difficile
Le lieu des racines de L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5)) quitte l’axe réel entre s = 0 et s = −4. Trouvez le point de séparation sb.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 5))
sb =
Corrigé
- 1. a = 2,5
- 2. N = 2
- 3. ω = 5,477 rad/s
- 4. Kmax = 9,6
- 5. sb = −1,757
- 6. sb = −1,472
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