सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
आपको 10 वर्षों में €10 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 3.6% देता है, ब्याज त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।
आप 14 वर्षों तक हर महीने के अंत में €150 बचाते हैं। खाता प्रति वर्ष 4.2% देता है, मासिक चक्रवृद्धि। अंत में आपकी कितनी बचत होगी? FV ज्ञात करें।
€45 000 का निवेश वर्ष 1 से 4 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €22 000, €15 000, €15 000, €11 000। पूँजी की लागत 5% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।
एक परियोजना की लागत €50 000 है और यह वर्ष 1 से 4 के अंत में €20 500, €23 500, €23 500, €17 500 लौटाती है। नकदी प्रवाहों को 6% की पूँजी लागत पर पुनर्निवेशित किया जा सकता है। संशोधित आंतरिक प्रतिफल दर MIRR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।
€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 6% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 5 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 7% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।
एक बॉन्ड 6% के परिपक्वता तक प्रतिफल (वार्षिक चक्रवृद्धि) और 9.3 वर्ष की मैकॉले ड्यूरेशन के साथ €965 पर कारोबार करता है। यदि प्रतिफल 150 आधार अंक घटता है, तो संशोधित ड्यूरेशन से नई कीमत P का अनुमान लगाइए।
1.5 बीटा वाले एक शेयर का आवश्यक प्रतिफल 12% है। जोखिम-मुक्त दर 1.5% है। CAPM किस अपेक्षित बाज़ार प्रतिफल rm का संकेत देता है?
एक कंपनी के शेयरों का बीटा उसके वर्तमान 0.25 ऋण-इक्विटी अनुपात पर 1.1 है। वह अपना ऋण-इक्विटी अनुपात 0.75 तक बढ़ाने की योजना बनाती है। कर दर 21%, जोखिम-मुक्त दर 4% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 6% है। परिवर्तन के बाद इक्विटी की लागत re ज्ञात कीजिए।
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 22, 15, 53, 15, 17।
एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 50 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 562.5 से अधिक है?
दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।
एक खेल खेलने का मूल्य €3 है। आप प्रायिकता 0.2 से €6 जीतते हैं और प्रायिकता 0.05 से €60; अन्यथा आप कुछ नहीं जीतते। दाँव की राशि लौटाई नहीं जाती। प्रति खेल प्रत्याशित शुद्ध लाभ E(G) ज्ञात कीजिए।
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.4647 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
परीक्षा अंक औसत 65 अंक और मानक विचलन 10 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित ऊपरी 25% उसके दाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
दो फ़ोन मॉडलों की बैटरी अवधि की तुलना की जाती है। मॉडल 1: 80 फ़ोन, माध्य 148.5 h, ज्ञात मानक विचलन 11 h। मॉडल 2: 50 फ़ोन, माध्य 156 h, ज्ञात मानक विचलन 5 h। μ₁ − μ₂ के लिए 90% विश्वास्यता अंतराल की निचली सीमा ज्ञात कीजिए।
समष्टि मानक विचलन 15 है। कितने बड़े प्रतिदर्श n की आवश्यकता है ताकि माध्य के 90% विश्वास्यता अंतराल की त्रुटि सीमा अधिकतम 2 हो?
एक समष्टि का माध्य 500 होने का दावा किया जाता है; समष्टि मानक विचलन 24 ज्ञात है। 64 प्रेक्षणों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श का माध्य 505.28 है। H₀: μ = 500 बनाम H₁: μ ≠ 500 का परीक्षण करें। p-मान p ज्ञात कीजिए।
एक परीक्षण में उपचार A वाले 250 में से 75 रोगी ठीक होते हैं, और उपचार B वाले 120 में से 49 रोगी। संयुक्त अनुपात का उपयोग करके H₀: p₁ = p₂ के लिए परीक्षण प्रतिदर्शज z ज्ञात कीजिए।
तालिका x = kN में भार और y = mm में दीर्घीकरण के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। उनके योग दिए गए हैं। इन योगों से पियर्सन सहसंबंध गुणांक r ज्ञात कीजिए।
तालिका x = अध्ययन के घंटे और y = परीक्षा अंक के 5 युग्मित प्रेक्षण देती है। न्यूनतम-वर्ग रेखा ŷ = a + b·x का उपयोग करें। x = 7 के लिए ŷ का पूर्वानुमान लगाइए।
उत्तर: PV = 6988 €
मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)n के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।
उत्तर: FV = 34223 €
मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)n के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।
आपने खुद €25 200 जमा किया; बाकी ब्याज है।
उत्तर: NPV = 11565 €
शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।
NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।
उत्तर: MIRR = 16.85 %
संशोधित IRR: अंतिम मूल्य TV पाने के लिए हर अंतर्वाह को पुनर्निवेश दर (सामान्यतः पूँजी लागत) पर परियोजना के अंत तक आगे चक्रवृद्धि करें। MIRR वह दर है जो प्रारंभिक निवेश को TV में बदलती है: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1।
उत्तर: P = 958.4 €
बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।
प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, इसलिए बॉन्ड बट्टे पर बिकता है।
उत्तर: P = 1092 €
अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −Dmod·Δy।
ड्यूरेशन एक रैखिक अनुमान है; प्रतिफल में बड़े परिवर्तनों के लिए उत्तलता (कॉन्वेक्सिटी) वास्तविक कीमत को थोड़ा अधिक कर देती है।
उत्तर: rm = 8.5 %
पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: re = rf + β·(rm − rf)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।
उत्तर: re = 12.78 %
उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ βU बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।
उत्तर: s = 16.24
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: P = 0.1056
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: Var(X) = 0.8475
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
उत्तर: E(G) = 1.2 €
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
धनात्मक मान का अर्थ है कि औसतन आप पैसा जीतते हैं।
उत्तर: z = 0.62
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
सारणी के भीतर 0.7324 खोजें और z पढ़ें।
उत्तर: x = 71.7 अंक
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
उत्तर: निचली सीमा = −9.834 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
अंतराल में 0 नहीं है, इसलिए माध्य सार्थक रूप से भिन्न हैं।
उत्तर: n = 153
माध्य के लिए विश्वास्यता अंतराल: x̄ ± त्रुटि सीमा। ज्ञात समष्टि σ के साथ सीमा z·σ/√n है; केवल प्रतिदर्श मानक विचलन s होने पर n − 1 स्वातंत्र्य कोटि वाला t लें: t·s/√n। क्रांतिक मान: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%)। E या उससे कम सीमा के लिए n ≥ (z·σ/E)² चाहिए, ऊपर की ओर पूर्णांकित।
प्रतिदर्श आकार एक पूर्ण संख्या है, और नीचे की ओर पूर्णांकन से सीमा बहुत बड़ी हो जाएगी।
उत्तर: p = 0.07841
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
p > 0.05, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार नहीं किया जाता।
उत्तर: z = −2.067
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1.96, इसलिए H₀ को 5% स्तर पर अस्वीकार किया जाता है (द्विपक्षीय)।
उत्तर: r = 0.9618
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
उत्तर: ŷ = 97.55
न्यूनतम-वर्ग समाश्रयण: माध्य x̄ और ȳ के साथ Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² और Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) लेने पर रेखा ŷ = a + b·x की ढाल b = Sxy/Sxx और अंतःखंड a = ȳ − b·x̄ है, इसलिए यह हमेशा (x̄, ȳ) से होकर जाती है। पियर्सन सहसंबंध गुणांक r = Sxy/√(Sxx·Syy), −1 और 1 के बीच होता है; r², y के विचरण का वह अंश है जिसे रेखा स्पष्ट करती है।
यह स्वतंत्र अभ्यास सामग्री है। ExamProblems इस परीक्षा को संचालित करने वाले संगठन से संबद्ध या उसके द्वारा समर्थित नहीं है, और परीक्षा का नाम केवल सामग्री का वर्णन करने के लिए उपयोग किया गया है। CFA® and Chartered Financial Analyst® CFA Institute के ट्रेडमार्क हैं, जो ExamProblems से संबद्ध नहीं है, उसका समर्थन नहीं करता और उसकी सटीकता की ज़िम्मेदारी नहीं लेता।
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income