संख्या पद्धतियाँ
- स्थानीय मान
- बाइनरी 2k, ऑक्टल 8k, हेक्स 16k
- दशमलव में
- Σ dk·bk
- दशमलव से
- आधार से भाग दें, शेषफल नीचे से ऊपर पढ़ें
- हेक्स ↔ बाइनरी
- एक हेक्स अंक = 4 बिट
- टू’ज़ कॉम्प्लीमेंट
- बिट उलटें और 1 जोड़ें
डिजिटल इलेक्ट्रॉनिकी: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
- मूल गेट
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- बूलीय नियम
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- डी मॉर्गन
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- कार्नो मानचित्र का क्रम
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 2ᵏ खानों का समूह
- k चर खो देता है
- 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- फ़्लिप-फ़्लॉप
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- काउंटर
- n-बिट: 2ⁿ अवस्थाएँ; mod-N: सबसे छोटा n जिसमें 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
- रिपल काउंटर
- fmax = 1/(n·tpd)
- रिंग और जॉनसन काउंटर
- n और 2n अवस्थाएँ
विधि
- परिपथ के लिए निवेशों से निर्गत तक एक-एक गेट करके काम करें और हर तार पर मान लिखें, या उसका व्यंजक लिखें और सत्यमान सारणी भरें।
- सरलीकरण के लिए 1 (और डोंट-केयर को X के रूप में) को ग्रे-कोड पंक्तियों और स्तंभों वाले कार्नो मानचित्र में रखें: 00, 01, 11, 10।
- 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के जितने कम और जितने बड़े संभव हों उतने समूहों से ढकें, किनारों से लिपटते हुए; हर समूह एक गुणन पद है जो उन चरों से बना है जो स्थिर रहते हैं। POS रूप के लिए 0 को समूहित करें।
- फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटरों के लिए हर सक्रिय क्लॉक कोर पर निवेश पढ़ें, हर कोर के बाद अवस्था लिखें, और याद रखें कि n-बिट काउंटर 2ⁿ अवस्थाओं के बाद लौट जाता है।
डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
- नाइक्विस्ट मानदंड
- fs > 2·fmax, fN = fs/2
- ऐलियास आवृत्ति
- fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
- चरण आकार
- 1 LSB = VFSR/2ᴺ
- क्वांटीकरण त्रुटि (निकटतम पूर्णांकन)
- ±½ LSB
- ADC कोड का छाँटना (ट्रंकेशन)
- D = ⌊Vin/LSB⌋
- वियोजन r के लिए बिट
- 2ᴺ ≥ span/r
- आदर्श SQNR, पूर्ण-स्केल ज्यावक्र
- SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
- डेटा दर
- चैनल × fs × N bit/s
- मल्टीप्लेक्स्ड ADC
- fs = 1/(n·(tc + tset))
- UART
- Tb = 1/बॉड; 8N1 = प्रति बाइट 10 बिट; बाइट/s = बॉड/प्रति फ़्रेम बिट
- बॉड दर विभाजक
- baud = fclk/(16·D)
विधि
- लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
- प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना fs/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति fa = |f − k·fs| पर दिखती है, जहाँ fs का निकटतम गुणज लिया जाता है।
- वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = VFSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
- डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।
2अभ्यास प्रश्न
1.संख्या पद्धतियाँमध्यम
बिट इस तरह सेट करें कि वे 8-बिट 2 के पूरक में −71 संग्रहीत करें। चिह्नरहित संख्या के रूप में पढ़ने पर पैटर्न का मान U क्या है?
N = −718 bit
U =
2.संख्या पद्धतियाँकठिन
10-बिट दो के पूरक में संग्रहीत की जा सकने वाली सबसे छोटी (सबसे ऋणात्मक) पूर्णांक N क्या है?
10 bit
N =
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपमध्यम
इस कार्नो मानचित्र में ठीक एक 1 का कोई पड़ोसी 1 नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम SOP रूप में एक खाने का समूह (चार लिटरल का पूर्ण मिनटर्म) बना रहता है। मानचित्र के किनारों के आर-पार के पड़ोसी भी गिने जाते हैं। उस खाने पर क्लिक करें।
F = Σm(0, 1, 2, 5, 9, 11, 12)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉपकठिन
F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 9, 11, 12, 13, 14) + d(1, 5) के लिए, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है, अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्यों (एसेंशियल प्राइम इम्प्लिकेंट) की संख्या N ज्ञात करें।
F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 6, 9, 11, 12, 13, 14) + d(1, 5)
N =
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम
पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए 18-बिट ADC का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR ज्ञात कीजिए।
N = 18
SQNR = dB
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन
एक ऑडियो मापन को पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए कम से कम 55 dB का आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात चाहिए। ADC के बिटों की न्यूनतम संख्या N ज्ञात कीजिए।
SQNR ≥ 55 dB
N =
3विलयन
1.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: U = 185
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
उलटें और एक जोड़ें
71 = 0100 0111
उलटा हुआ: 1011 1000
+1 → 1011 1001
अचिह्नित रूप में पढ़ें
1011 1001₂ = 256 − 71 = 185
उत्तर
U = 185
2.संख्या पद्धतियाँ
उत्तर: N = −512
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
सबसे ऋणात्मक मान
−29 = −512
उत्तर
N = −512
3.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: AB = 11, CD = 00
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
हर 1 के पड़ोसी
पड़ोसी 1 वाला 1 दो या अधिक के समूह में शामिल हो सकता है।
m12: m13, m14, m8, m4 → 0
अकेला 1
m12 = ABC′D′ → AB = 11, CD = 00
उत्तर
AB = 11, CD = 00
4.डिजिटल लॉजिक: गेट, K-मानचित्र और फ़्लिप-फ़्लॉप
उत्तर: N = 3
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
प्रमुख प्रभाव्य
1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।
C′D, BD′, BC′, A′C′, AB′D
अनिवार्य प्रमुख प्रभाव्य
BD′, A′C′, AB′D
N = 3
उत्तर
N = 3
5.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: SQNR = 110.1 dB
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
आदर्श SQNR
SQNR = 6.02·18 + 1.76 = 110.1 dB
उत्तर
SQNR = 110.1 dB
6.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन
उत्तर: N = 9
ADC वियोजन: N-बिट कन्वर्टर अपने पूर्ण-स्केल परिसर VFSR को 0 से 2ᴺ − 1 तक 2ᴺ कोड में बाँटता है। एक चरण 1 LSB = VFSR/2ᴺ है: वह सबसे छोटा परिवर्तन जो कन्वर्टर दिखा सकता है। छाँटने वाला ADC कोड ⌊Vin/LSB⌋ देता है; निकटतम पूर्णांकन करने वाला ADC वास्तविक मान से कभी ½ LSB से अधिक दूर नहीं होता, यही उसकी क्वांटीकरण त्रुटि है। हर अतिरिक्त बिट LSB को आधा करता है और पूर्ण-स्केल ज्यावक्र के लिए आदर्श संकेत-से-क्वांटीकरण-रव अनुपात SQNR = 6.02·N + 1.76 dB में लगभग 6 dB जोड़ता है। किसी विस्तार पर वियोजन r पाने के लिए सबसे छोटा N चुनें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/r हो।
N के लिए हल करें
N ≥ (55 − 1.76)/6.02 = 8.844
ऊपर पूर्णांकित करें
N = 9
जाँच: 6.02·9 + 1.76 = 55.94 dB ≥ 55 dB
उत्तर
N = 9
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