निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप 2% प्रति वर्ष की नाममात्र दर पर €20 000 निवेश करते हैं, ब्याज त्रैमासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। 6 वर्षों बाद निवेश का मूल्य FV ज्ञात करें।

PV = €20 0002% / 4n = 6

FV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

€15 000 का एक ऋण 6% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि पर 3 वर्षों में समान मासिक किस्तों से चुकाया जाता है। ऋण की पूरी अवधि में कुल कितना ब्याज I चुकाया जाता है?

P = €15 0006% / 12N = 36

I = €

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 8% का वार्षिक कूपन दो छमाही किस्तों में देता है और 5 वर्ष में परिपक्व होता है। परिपक्वता तक प्रतिफल प्रति वर्ष 5% है। बॉन्ड की कीमत P ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 8%YTM = 5%n = 5

P = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

एक बॉन्ड 5% के परिपक्वता तक प्रतिफल (वार्षिक चक्रवृद्धि) और 3.7 वर्ष की मैकॉले ड्यूरेशन के साथ €920 पर कारोबार करता है। यदि प्रतिफल 100 आधार अंक घटता है, तो संशोधित ड्यूरेशन से नई कीमत P का अनुमान लगाइए।

P₀ = €920y = 5%D = 3.7Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €6 000 000 मूल्य की इक्विटी और €4 000 000 मूल्य का ऋण है। इसकी इक्विटी की लागत 13%, कर-पूर्व ऋण लागत 3.5% और कर दर 20% है। WACC ज्ञात कीजिए।

E = €6 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के पास €12.50 प्रति शेयर की दर से 4 000 000 शेयर और €980 प्रति बॉन्ड पर कारोबार कर रहे 40 000 बॉन्ड है। कर-पूर्व ऋण लागत 3.5% और कर दर 25% है। शेयर का बीटा 1.3, जोखिम-मुक्त दर 1% और बाज़ार प्रतिफल 6.5% है। WACC ज्ञात कीजिए।

β = 1.3r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

7.NPV और IRRमध्यम

€45 000 का निवेश वर्ष 1 से 3 के अंत में ये नकदी प्रवाह देता है: €19 000, €12 000, €21 000। पूँजी की लागत 9% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात करें।

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 12 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.NPV और IRRकठिन

परियोजना A की लागत €30 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €17 000, €12 000, €7 000 लौटाती है। परियोजना B की लागत €35 000 है और यह €9 000, €15 000, €19 500 लौटाती है। वह क्रॉसओवर दर r* प्रतिशत में ज्ञात कीजिए जिस पर दोनों परियोजनाओं का NPV समान है।

A: −30 000, 17 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 9 000, 15 000, 19 500

r* = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 22543 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·6 = 24

भविष्य मूल्य

FV = 20 000·(1 + 0.005)²⁴ = 20 000·1.127 = €22 543.20

उत्तर

FV = €22 543.20

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: I = 1428 €

मासिक भुगतान

i = 0.005, N = 36

A = 15 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶) = €456.33

कुल ब्याज

I = N·A − P = 36·456.3 − 15 000 = €1 427.85

उत्तर

I = €1 427.85

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1131 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

प्रति अवधि

C = €40.00, i = 0.025, N = 10

कूपनों का वर्तमान मूल्य

€40.00·(1 − 0.7812)/0.025 = €350.08

अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य

€1 000·0.7812 = €781.20

कीमत

P = €1 131.28

उत्तर

P = €1 131.28

प्रतिफल कूपन दर से कम है, इसलिए बॉन्ड प्रीमियम पर बिकता है।

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 952.4 €

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

संशोधित ड्यूरेशन

D_mod = 3.7/1.05 = 3.524

अनुमानित कीमत परिवर्तन

%ΔP ≈ −3.524·(−0.01) = 3.524%

P ≈ 920·(1 + 0.03524) = €952.42

उत्तर

P = €952.42

ड्यूरेशन एक रैखिक अनुमान है; प्रतिफल में बड़े परिवर्तनों के लिए उत्तलता (कॉन्वेक्सिटी) वास्तविक कीमत को थोड़ा अधिक कर देती है।

5.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 8.92 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC

WACC = 0.6·13% + 0.4·3.5%·(1 − 0.2) = 8.92%

उत्तर

WACC = 8.92%

6.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 5.722 %

बाज़ार मूल्य

E = 4 000 000·€12.50 = €50 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 1% + 1.3·5.5% = 8.15%

भार

V = €89 200 000, E/V = 0.5605, D/V = 0.4395

WACC

WACC = 0.5605·8.15% + 0.4395·3.5%·(1 − 0.25) = 5.722%

उत्तर

WACC = 5.722%

7.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −1253 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

हर नकदी प्रवाह का वर्तमान मूल्य

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 19 000/1.09 = 17 431.19

CF₂/(1 + 0.09)² = 12 000/1.188 = 10 100.16

CF₃/(1 + 0.09)³ = 21 000/1.295 = 16 215.85

जोड़ें

NPV = €−1 252.79

उत्तर

NPV = €−1 252.79

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

8.NPV और IRR

उत्तर: r* = 8.346 %

क्रॉसओवर दर: वह बट्टा दर जिस पर दो परियोजनाओं का NPV समान होता है। यह उनके नकदी प्रवाहों के अंतर (B − A) की IRR है। इससे नीचे बाद वाले, बड़े नकदी प्रवाहों वाली परियोजना का NPV अधिक होता है; इससे ऊपर दूसरी परियोजना जीतती है।

नकदी प्रवाहों में अंतर

ΔCF₀ = −35 000 − (−30 000) = −5 000

ΔCF₁ = 9 000 − 17 000 = −8 000

ΔCF₂ = 15 000 − 12 000 = 3 000

ΔCF₃ = 19 500 − 7 000 = 12 500

अंतर की IRR

NPV_Δ(8%) = 87.51

NPV_Δ(9%) = −162.12

r* = 8.346%

उत्तर

r* = 8.346%

जाँच: 8.346% पर दोनों NPV €1 416.69 हैं।

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