निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आप सतत चक्रवृद्धि के साथ 5% प्रति वर्ष पर €20 000 निवेश करते हैं। 11 वर्षों बाद मूल्य FV ज्ञात कीजिए।

PV = €20 000r = 5%t = 11

FV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आपको 9 वर्षों में €25 000 चाहिए। आप हर महीने के अंत में 3% प्रति वर्ष, मासिक चक्रवृद्धि वाले खाते में समान राशि बचाते हैं। मासिक जमा A ज्ञात कीजिए।

FV = €25 0003% / 12N = 108

A = €

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 4% का वार्षिक कूपन देता है और 10 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 5% से 7% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 4%n = 10y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

एक बॉन्ड 5% के परिपक्वता तक प्रतिफल (वार्षिक चक्रवृद्धि) और 5.1 वर्ष की मैकॉले ड्यूरेशन के साथ €1 080 पर कारोबार करता है। यदि प्रतिफल 25 आधार अंक बढ़ता है, तो संशोधित ड्यूरेशन से नई कीमत P का अनुमान लगाइए।

P₀ = €1 080y = 5%D = 5.1Δy = +25 bp

P = €

5.CAPM और WACCमध्यम

1.25 बीटा वाले एक शेयर का आवश्यक प्रतिफल 11.13% है। जोखिम-मुक्त दर 3% है। CAPM किस अपेक्षित बाज़ार प्रतिफल r_m का संकेत देता है?

β = 1.25r_e = 11.13%r_f = 3%

r_m = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के व्यवसाय का अनुत्तोलित (परिसंपत्ति) बीटा 0.7 है। यह 0.6 का ऋण-इक्विटी अनुपात रखने की योजना बनाती है। कर दर 20%, जोखिम-मुक्त दर 1% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 5% है। नई पूँजी संरचना पर इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_U = 0.7D/E = 0.6T = 20%r_f = 1%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €400 000 है। यह पहले वर्ष के अंत में €38 000 उत्पन्न करती है, और फिर नकदी प्रवाह हमेशा के लिए 1% प्रति वर्ष बढ़ता है। पूँजी की लागत 9% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात कीजिए।

C₀ = €400 000CF₁ = €38 000g = 1%r = 9%

NPV = €

8.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €25 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €11 500, €17 500, €17 500 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 17 500CF₃ = 17 500

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 34665 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

घातांक

r·t = 0.05·11 = 0.55

e^0.55 = 1.733

भविष्य मूल्य

FV = 20 000·1.733 = €34 665.06

उत्तर

FV = €34 665.06

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: A = 201.9 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·9 = 108

जमा

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0.0025/(1.31 − 1) = €201.92

उत्तर

A = €201.92

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = −133.5 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €40.00, i = 0.05, N = 10

€40.00·(1 − 0.6139)/0.05 + €1 000·0.6139 = €308.87 + €613.91 = €922.78

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €40.00, i = 0.07, N = 10

€40.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €280.94 + €508.35 = €789.29

परिवर्तन

ΔP = 789.29 − 922.78 = −€133.49

उत्तर

ΔP = −€133.49

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 1067 €

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

संशोधित ड्यूरेशन

D_mod = 5.1/1.05 = 4.857

अनुमानित कीमत परिवर्तन

%ΔP ≈ −4.857·(0.0025) = −1.214%

P ≈ 1080·(1 − 0.01214) = €1 066.89

उत्तर

P = €1 066.89

ड्यूरेशन एक रैखिक अनुमान है; प्रतिफल में बड़े परिवर्तनों के लिए उत्तलता (कॉन्वेक्सिटी) वास्तविक कीमत को थोड़ा अधिक कर देती है।

5.CAPM और WACC

उत्तर: r_m = 9.504 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

बाज़ार जोखिम प्रीमियम

r_m − r_f = (11.13% − 3%)/1.25 = 6.504%

बाज़ार प्रतिफल

r_m = 3% + 6.504% = 9.504%

उत्तर

r_m = 9.504%

6.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 6.18 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

उत्तोलित बीटा

β_L = 0.7·(1 + 0.8·0.6) = 1.036

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 1% + 1.036·5% = 6.18%

उत्तर

r_e = 6.18%

7.NPV और IRR

उत्तर: NPV = 75000 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

नकदी प्रवाहों का मूल्य

PV = 38 000/(0.09 − 0.01) = 475 000.00

NPV

NPV = 475 000.00 − 400 000 = €75 000.00

उत्तर

NPV = €75 000.00

NPV धनात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से अधिक कमाती है।

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 35.65 %

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(35%) = 233.45

NPV(40%) = −1 479.59

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 35 + 5·233.45/(233.45 − (−1 479.59)) = 35.68%

सटीक: NPV(35.65%) = 0 → IRR = 35.65%

उत्तर

IRR = 35.65%

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