निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

आपको 9 वर्षों में €50 000 चाहिए। एक खाता प्रति वर्ष 4% देता है, ब्याज मासिक रूप से चक्रवृद्धि होता है। आज आपको कितना जमा करना होगा? वर्तमान मूल्य PV ज्ञात करें।

FV = €50 0004% / 12n = 9

PV = €

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 11 वर्षों तक हर वर्ष की शुरुआत में €2 000 जमा करते हैं, पहली जमा आज। खाता 3% प्रति वर्ष देता है। वर्ष 11 के अंत में खाते में कितना है? FV ज्ञात कीजिए।

A = €2 000i = 3%n = 11

FV = €

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 4% का वार्षिक कूपन देता है और 9 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 5.5% से 7% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 4%n = 9y₁ = 5.5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

€1 000 अंकित मूल्य और 3% वार्षिक कूपन वाला एक बॉन्ड 7 वर्ष में परिपक्व होता है और €1 065 में बिकता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल YTM प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

F = €1 000कूपन = 3%n = 7P = €1 065

YTM = %

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी के पास €5 000 000 मूल्य की इक्विटी और €3 000 000 मूल्य का ऋण है। इसका WACC 5.84%, कर-पूर्व ऋण लागत 3% और कर दर 25% है। इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

E = €5 000 000D = €3 000 000WACC = 5.84%r_d = 3%T = 25%

r_e = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के व्यवसाय का अनुत्तोलित (परिसंपत्ति) बीटा 1 है। यह 0.5 का ऋण-इक्विटी अनुपात रखने की योजना बनाती है। कर दर 28%, जोखिम-मुक्त दर 1% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 4.5% है। नई पूँजी संरचना पर इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_U = 1D/E = 0.5T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक मशीन की लागत आज €60 000 है, यह 5 वर्ष चलती है और इसे चलाने में प्रति वर्ष €5 000 लगते हैं (हर वर्ष के अंत में भुगतान)। पूँजी की लागत 8% है। इसकी तुल्य वार्षिक लागत EAC ज्ञात कीजिए।

C₀ = €60 000M = €5 000n = 5r = 8%

EAC = €

8.NPV और IRRकठिन

एक परियोजना की लागत €50 000 है और यह वर्ष 1 से 2 के अंत में €31 500, €33 000 लौटाती है। इसकी आंतरिक प्रतिफल दर IRR प्रतिशत में ज्ञात करें।

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 500CF₂ = 33 000

IRR = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: PV = 34905 €

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

दर और अवधियों की संख्या

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·9 = 108

वर्तमान मूल्य

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.432 = €34 904.71

उत्तर

PV = €34 904.71

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 26384 €

साधारण वार्षिकी गुणक

((1 + 0.03)¹¹ − 1)/0.03 = 12.81

देय वार्षिकी

हर जमा एक वर्ष अधिक निवेशित रहती है।

FV = 2 000·12.81·1.03 = €26 384.06

उत्तर

FV = €26 384.06

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = −91.17 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €40.00, i = 0.055, N = 9

€40.00·(1 − 0.6176)/0.055 + €1 000·0.6176 = €278.09 + €617.63 = €895.72

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €40.00, i = 0.07, N = 9

€40.00·(1 − 0.5439)/0.07 + €1 000·0.5439 = €260.61 + €543.93 = €804.54

परिवर्तन

ΔP = 804.54 − 895.72 = −€91.17

उत्तर

ΔP = −€91.17

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: YTM = 1.996 %

प्रतिफल का समीकरण

€1 065 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

संख्यात्मक रूप से हल करें

P(1%) = €1 134.56, P(2%) = €1 064.72

YTM = 1.996%

उत्तर

YTM = 1.996%

5.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 7.994 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

भार

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC का ऋण भाग

0.375·3%·(1 − 0.25) = 0.8438%

इक्विटी की लागत

r_e = (5.84% − 0.8438%)/0.625 = 7.994%

उत्तर

r_e = 7.994%

6.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 7.12 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

उत्तोलित बीटा

β_L = 1·(1 + 0.72·0.5) = 1.36

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 1% + 1.36·4.5% = 7.12%

उत्तर

r_e = 7.12%

7.NPV और IRR

उत्तर: EAC = 20027 €

तुल्य वार्षिक लागत: सभी लागतों के वर्तमान मूल्य को जीवनकाल में एक समान वार्षिक राशि (वार्षिकी) के रूप में फैलाएँ: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)। इससे अलग-अलग जीवनकाल वाली मशीनों की तुलना की जा सकती है।

वार्षिकी गुणक

(1 − 1.08⁻⁵)/0.08 = 3.993

वार्षिकीकृत क्रय मूल्य

60 000/3.993 = 15 027.39

EAC

EAC = 15 027.39 + 5 000 = €20 027.39

उत्तर

EAC = €20 027.39

8.NPV और IRR

उत्तर: IRR = 18.63 %

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

IRR को दोनों ओर से घेरें

दर बढ़ने पर NPV घटता है, इसलिए IRR धनात्मक NPV वाली दर और ऋणात्मक NPV वाली दर के बीच होती है।

NPV(15%) = 2 344.05

NPV(20%) = −833.33

सँकरा करें

रैखिक अंतर्वेशन पहला अनुमान देता है; इसे दोहराने (या कैलकुलेटर के IRR फ़ंक्शन) से सटीक दर मिलती है।

IRR ≈ 15 + 5·2 344.05/(2 344.05 − (−833.33)) = 18.69%

सटीक: NPV(18.63%) = 0 → IRR = 18.63%

उत्तर

IRR = 18.63%

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