निवेश और मूल्यांकन: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

मुद्रा का समय मूल्य

भविष्य मूल्य: FV = PV·(1 + i)ⁿ
वर्तमान मूल्य: PV = FV/(1 + i)ⁿ
प्रति वर्ष कई अवधियाँ: i = r/m, N = m·n
वार्षिकी, वर्तमान मूल्य: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
वार्षिकी, भविष्य मूल्य: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

विधि

हर नकदी प्रवाह और उसके समय के साथ एक समय-रेखा बनाएँ।
दर को अवधि से मिलाएँ: मासिक भुगतानों के लिए मासिक दर।
एकल राशियों के लिए FV = PV·(1 + i)ⁿ और समान भुगतानों के लिए वार्षिकी सूत्रों का उपयोग करें।
उत्तर का चिह्न और परिमाण की कोटि जाँचें।

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

बॉन्ड की कीमत: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
अर्धवार्षिक: C/2, y/2 और 2n अवधियाँ
चालू प्रतिफल: C/P
कीमत और प्रतिफल: प्रतिफल ऊपर → कीमत नीचे

विधि

प्रति अवधि कूपन और प्रति अवधि प्रतिफल ज्ञात करें।
मूल्य = कूपनों का वर्तमान मूल्य (एक वार्षिकी) + अंकित मूल्य का वर्तमान मूल्य।
अर्धवार्षिक कूपनों के लिए आधा कूपन, आधा प्रतिफल और दोगुनी अवधियाँ लें।
जाँच: यदि प्रतिफल कूपन दर से अधिक है, तो मूल्य अंकित मूल्य से कम होता है।

CAPM और WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
फर्म का मूल्य: V = E + D

NPV और IRR

शुद्ध वर्तमान मूल्य: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
समान नकदी प्रवाह: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
आंतरिक प्रतिफल दर: वह r जिस पर NPV = 0
निर्णय: NPV > 0 (या IRR > आवश्यक प्रतिफल) होने पर स्वीकार करें

विधि

सभी नकदी प्रवाहों को उनके वर्ष के साथ सूचीबद्ध करें; वर्ष 0 का निवेश ऋणात्मक है।
हर नकदी प्रवाह को बट्टाकृत करें: CF_t/(1 + r)^t।
NPV पाने के लिए उन्हें जोड़ें। धनात्मक का अर्थ है कि परियोजना r से अधिक कमाती है।
IRR के लिए वह दर ज्ञात करें जो NPV को शून्य बनाती है, प्रयास या अंतर्वेशन द्वारा।

2अभ्यास प्रश्न

1.मुद्रा का समय मूल्यमध्यम

एक क्रेडिट कार्ड 16% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर लेता है, दैनिक चक्रवृद्धि। प्रभावी वार्षिक दर EAR प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 16%m = 365

EAR = %

2.मुद्रा का समय मूल्यकठिन

आप 26 वर्षों तक हर महीने के अंत में €300 बचाते हैं। खाता प्रति वर्ष 4.2% देता है, मासिक चक्रवृद्धि। अंत में आपकी कितनी बचत होगी? FV ज्ञात करें।

A = €3004.2% / 12N = 312

FV = €

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलमध्यम

€1 000 अंकित मूल्य वाला एक बॉन्ड 2% का वार्षिक कूपन देता है और 14 वर्षों में परिपक्व होता है। इसका परिपक्वता तक प्रतिफल 7% से 6% हो जाता है। बॉन्ड की कीमत कितनी ΔP बदलती है?

F = €1 000कूपन = 2%n = 14y₁ = 7%y₂ = 6%

ΔP = €

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफलकठिन

एक बॉन्ड 7% के परिपक्वता तक प्रतिफल (वार्षिक चक्रवृद्धि) और 5.6 वर्ष की मैकॉले ड्यूरेशन के साथ €975 पर कारोबार करता है। यदि प्रतिफल 25 आधार अंक घटता है, तो संशोधित ड्यूरेशन से नई कीमत P का अनुमान लगाइए।

P₀ = €975y = 7%D = 5.6Δy = −25 bp

P = €

5.CAPM और WACCमध्यम

एक कंपनी का ऋण-इक्विटी अनुपात (बाज़ार मूल्यों पर) 0.25 है। इसकी इक्विटी की लागत 10%, कर-पूर्व ऋण लागत 6% और कर दर 21% है। WACC ज्ञात कीजिए।

D/E = 0.25r_e = 10%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

6.CAPM और WACCकठिन

एक कंपनी के व्यवसाय का अनुत्तोलित (परिसंपत्ति) बीटा 0.9 है। यह 0.6 का ऋण-इक्विटी अनुपात रखने की योजना बनाती है। कर दर 25%, जोखिम-मुक्त दर 1.5% और बाज़ार जोखिम प्रीमियम 6% है। नई पूँजी संरचना पर इक्विटी की लागत r_e ज्ञात कीजिए।

β_U = 0.9D/E = 0.6T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV और IRRमध्यम

एक परियोजना की लागत आज €500 000 है। यह पहले वर्ष के अंत में €40 000 उत्पन्न करती है, और फिर नकदी प्रवाह हमेशा के लिए 2% प्रति वर्ष बढ़ता है। पूँजी की लागत 12% है। शुद्ध वर्तमान मूल्य NPV ज्ञात कीजिए।

C₀ = €500 000CF₁ = €40 000g = 2%r = 12%

NPV = €

8.NPV और IRRकठिन

परियोजना A की लागत €40 000 है और यह वर्ष 1 से 3 के अंत में €23 000, €16 000, €8 500 लौटाती है। परियोजना B की लागत €42 000 है और यह €10 500, €17 000, €25 000 लौटाती है। वह क्रॉसओवर दर r* प्रतिशत में ज्ञात कीजिए जिस पर दोनों परियोजनाओं का NPV समान है।

A: −40 000, 23 000, 16 000, 8 500B: −42 000, 10 500, 17 000, 25 000

r* = %

3विलयन

1.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: EAR = 17.35 %

मुद्रा का समय मूल्य: आज का पैसा बाद की उसी राशि से अधिक मूल्यवान है, क्योंकि वह ब्याज कमा सकता है। प्रति अवधि ब्याज दर i पर राशि FV = PV·(1 + i)ⁿ के अनुसार बढ़ती है। समान भुगतानों की शृंखला (वार्षिकी) का मूल्य हर भुगतान जोड़कर निकाला जाता है, जिससे वार्षिकी सूत्र बनते हैं।

प्रति अवधि दर

r/m = 0.16/365 = 0.0004384

एक वर्ष में चक्रवृद्धि करें

EAR = (1 + 0.0004384)³⁶⁵ − 1 = 1.173 − 1 = 17.35%

उत्तर

EAR = 17.35%

जब ब्याज वर्ष में एक से अधिक बार चक्रवृद्धि होता है तो EAR हमेशा नाममात्र दर से अधिक होती है।

2.मुद्रा का समय मूल्य

उत्तर: FV = 169247 €

मासिक दर और जमाओं की संख्या

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·26 = 312

जमाओं का भविष्य मूल्य

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2.975 − 1)/0.0035 = €169 247.32

उत्तर

FV = €169 247.32

आपने खुद €93 600 जमा किया; बाकी ब्याज है।

3.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: ΔP = 65.47 €

बॉन्ड मूल्य-निर्धारण: बॉन्ड की कीमत उसके नकदी प्रवाहों का वर्तमान मूल्य है, जिन्हें परिपक्वता तक प्रतिफल (YTM) पर बट्टा किया जाता है: कूपन एक वार्षिकी बनाते हैं और अंकित मूल्य परिपक्वता पर लौटाया जाता है। P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ। जब प्रतिफल कूपन दर से अधिक हो तो बॉन्ड अंकित मूल्य से कम पर बिकता है, और इसका उलटा भी।

पुराने प्रतिफल पर कीमत

C = €20.00, i = 0.07, N = 14

€20.00·(1 − 0.3878)/0.07 + €1 000·0.3878 = €174.91 + €387.82 = €562.73

नए प्रतिफल पर कीमत

C = €20.00, i = 0.06, N = 14

€20.00·(1 − 0.4423)/0.06 + €1 000·0.4423 = €185.90 + €442.30 = €628.20

परिवर्तन

ΔP = 628.20 − 562.73 = €65.47

उत्तर

ΔP = €65.47

4.बॉन्ड मूल्य-निर्धारण और प्रतिफल

उत्तर: P = 987.8 €

अवधि (ड्यूरेशन): मैकॉले ड्यूरेशन वह भारित औसत समय है जिस पर बॉन्ड अपने नकदी प्रवाह देता है, नकदी प्रवाहों के वर्तमान मूल्यों को भार मानकर: D = Σ t·PVₜ/P। संशोधित ड्यूरेशन D/(1 + y) प्रतिफल में छोटे परिवर्तन के लिए कीमत में प्रतिशत परिवर्तन का अनुमान देती है: %ΔP ≈ −D_mod·Δy।

संशोधित ड्यूरेशन

D_mod = 5.6/1.07 = 5.234

अनुमानित कीमत परिवर्तन

%ΔP ≈ −5.234·(−0.0025) = 1.308%

P ≈ 975·(1 + 0.01308) = €987.76

उत्तर

P = €987.76

ड्यूरेशन एक रैखिक अनुमान है; प्रतिफल में बड़े परिवर्तनों के लिए उत्तलता (कॉन्वेक्सिटी) वास्तविक कीमत को थोड़ा अधिक कर देती है।

5.CAPM और WACC

उत्तर: WACC = 8.948 %

पूँजी की लागत: CAPM वह प्रतिफल देता है जिसकी शेयरधारक अपेक्षा रखते हैं: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)। पूँजी की भारित औसत लागत इक्विटी और ऋण को उनके बाज़ार मूल्यों के अनुसार मिलाती है: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), जहाँ V = E + D। ब्याज कर-कटौती योग्य है, इसीलिए (1 − T)।

D/E से भार

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·10% + 0.2·6%·(1 − 0.21) = 8.948%

उत्तर

WACC = 8.948%

6.CAPM और WACC

उत्तर: r_e = 9.33 %

उत्तोलित बीटा (हमाडा): ऋण इक्विटी को अधिक जोखिमपूर्ण बनाता है। β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), जहाँ β_U बिना ऋण वाले व्यवसाय का बीटा है। बीटा को किसी अन्य पूँजी संरचना पर ले जाने के लिए पहले उसे अनुत्तोलित करें और फिर नए D/E पर पुनः उत्तोलित करें।

उत्तोलित बीटा

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.6) = 1.305

इक्विटी की लागत (CAPM)

r_e = 1.5% + 1.305·6% = 9.33%

उत्तर

r_e = 9.33%

7.NPV और IRR

उत्तर: NPV = −100000 €

शुद्ध वर्तमान मूल्य: हर नकदी प्रवाह को आवश्यक प्रतिफल दर r से आज तक बट्टा करें, फिर जोड़ें: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ। NPV > 0 वाली परियोजना r से अधिक कमाती है और मूल्य जोड़ती है। आंतरिक प्रतिफल दर (IRR) वह दर है जिस पर NPV = 0।

नकदी प्रवाहों का मूल्य

PV = 40 000/(0.12 − 0.02) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

उत्तर

NPV = −€100 000.00

NPV ऋणात्मक है, इसलिए परियोजना आवश्यक प्रतिफल से कम कमाती है।

8.NPV और IRR

उत्तर: r* = 9.444 %

क्रॉसओवर दर: वह बट्टा दर जिस पर दो परियोजनाओं का NPV समान होता है। यह उनके नकदी प्रवाहों के अंतर (B − A) की IRR है। इससे नीचे बाद वाले, बड़े नकदी प्रवाहों वाली परियोजना का NPV अधिक होता है; इससे ऊपर दूसरी परियोजना जीतती है।

नकदी प्रवाहों में अंतर

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 10 500 − 23 000 = −12 500

ΔCF₂ = 17 000 − 16 000 = 1 000

ΔCF₃ = 25 000 − 8 500 = 16 500

अंतर की IRR

NPV_Δ(9%) = 114.82

NPV_Δ(10%) = −140.50

r* = 9.444%

उत्तर

r* = 9.444%

जाँच: 9.444% पर दोनों NPV €856.94 हैं।

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