मापन और यंत्रीकरण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 10 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज

विभाजक वोल्टताएँ: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
निर्गम: V_ab = V_a − V_b
संतुलन: R₁/R₂ = R₃/R₄
स्लाइड-तार सेतु: R/R_x = l/(100 − l)
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
गेज गुणांक: ΔR/R = GF·ε
सेतु निर्गत: चतुर्थांश V_s·GF·ε/4, अर्ध V_s·GF·ε/2, पूर्ण V_s·GF·ε
छोटा परिवर्तन, एक भुजा: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
प्रतिबल: σ = E·ε

विधि

सेतु को एक ही आपूर्ति के पार दो वोल्टता विभाजक मानिए।
संतुलन के लिए R₁/R₂ = R₃/R₄ रखिए और अज्ञात प्रतिरोधक के लिए हल कीजिए।
असंतुलित सेतु के लिए विभाजकों से V_a और V_b निकालकर घटाइए; जब कोई मापी निर्गत पर भार डाले तब थेवेनिन तुल्य का उपयोग कीजिए।
स्ट्रेन गेज के लिए विकृति को ΔR/R = GF·ε में बदलिए और चतुर्थांश, अर्ध या पूर्ण सेतु के लिए क्रमशः V_s·GF·ε/4, /2 या ×1 का उपयोग कीजिए।

डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन

नाइक्विस्ट मानदंड: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
ऐलियास आवृत्ति: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
चरण आकार: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
क्वांटीकरण त्रुटि (निकटतम पूर्णांकन): ±½ LSB
ADC कोड का छाँटना (ट्रंकेशन): D = ⌊V_in/LSB⌋
वियोजन r के लिए बिट: 2ᴺ ≥ span/r
आदर्श SQNR, पूर्ण-स्केल ज्यावक्र: SQNR = 6.02·N + 1.76 dB
डेटा दर: चैनल × f_s × N bit/s
मल्टीप्लेक्स्ड ADC: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/बॉड; 8N1 = प्रति बाइट 10 बिट; बाइट/s = बॉड/प्रति फ़्रेम बिट
बॉड दर विभाजक: baud = f_clk/(16·D)

विधि

लिख लें कि क्या दिया है: प्रतिदर्श दर, संकेत आवृत्तियाँ, बिट संख्या, निवेश परिसर, बॉड दर।
प्रतिचयन के प्रश्नों में हर आवृत्ति की तुलना f_s/2 से करें; इससे ऊँची आवृत्ति f_a = |f − k·f_s| पर दिखती है, जहाँ f_s का निकटतम गुणज लिया जाता है।
वियोजन के प्रश्नों में 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ज्ञात करें, या सबसे छोटा N ज्ञात करें जिसके लिए 2ᴺ ≥ विस्तार/वियोजन हो।
डेटा दर और UART लिंक के लिए वह सब गिनें जो भेजा जाता है: चैनल, प्रति सेकंड प्रतिदर्श, प्रति प्रतिदर्श बिट या पूरे बाइट, और हर फ़्रेम के स्टार्ट, पैरिटी और स्टॉप बिट।

ऑप-एम्प परिपथ

इनवर्टिंग प्रवर्धक: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
नॉन-इनवर्टिंग प्रवर्धक: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
योगकारी प्रवर्धक: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
आदर्श ऑप-एम्प: V₊ = V₋, I_in = 0

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

श्रेणी में प्रतिरोध: R_eq = R₁ + R₂ + …
समांतर में प्रतिरोध: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
दो समांतर में: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
ओम का नियम: V = I·R
शक्ति: P = V·I = I²R = V²/R

विधि

नेटवर्क के उस सिरे से शुरू करें जो टर्मिनलों से सबसे दूर है।
श्रेणी में प्रतिरोधकों को जोड़कर मिलाएँ, और समांतर में प्रतिरोधकों को 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … से।
हर चरण के बाद परिपथ दोबारा बनाएँ।
तब तक दोहराएँ जब तक टर्मिनलों के बीच एक ही प्रतिरोधक न बचे।

थेवेनिन और नॉर्टन

थेवेनिन वोल्टता: V_th = V_{open circuit}
थेवेनिन प्रतिरोध: R_th: सभी स्रोत बंद, a–b से देखा गया
नॉर्टन धारा: I_N = V_th/R_th
लोड धारा: I_L = V_th/(R_th + R_L)
अधिकतम शक्ति स्थानांतरण: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

विधि

भार हटाएँ और दोनों टर्मिनलों को a और b से चिह्नित करें।
a और b के बीच खुला-परिपथ वोल्टता ज्ञात करें: यही V_th है।
सभी स्वतंत्र स्रोत बंद करें और a–b से दिखने वाला प्रतिरोध ज्ञात करें: यही R_th है।
लोड को समतुल्य परिपथ पर वापस लगाएँ: V_th, R_th के साथ श्रेणी में।
नॉर्टन समतुल्य के लिए रूपांतरित करें: I_N = V_th/R_th, और R_N = R_th समांतर में।

2अभ्यास प्रश्न

1.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजमध्यम

दिखाए गए सेतु का थेवेनिन प्रतिरोध R_th ज्ञात कीजिए, निर्गत टर्मिनल a और b से देखने पर।

V_s = 2 VR₁ = 300 ΩR₂ = 800 ΩR₃ = 200 ΩR₄ = 20 Ω

R_th = Ω

2.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेजकठिन

E = 210 GPa वाले किसी सदस्य पर लगा एक स्ट्रेन गेज (GF = 2) 2.5 V से उत्तेजित चतुर्थांश सेतु बनाता है। निर्गत 0.5 mV पढ़ता है। MPa में अक्षीय प्रतिबल σ ज्ञात कीजिए।

V_s = 2.5 VGF = 2V_o = 0.5 mVE = 210 GPa

σ = MPa

3.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनमध्यम

एक रिकॉर्डर 4 चैनलों को हर एक 2 kHz पर 14-बिट ADC से प्रतिदर्शित करता है। हर प्रतिदर्श पूरे बाइट में सहेजा जाता है। 5 मिनट की रिकॉर्डिंग के लिए आवश्यक मेमोरी M MB में ज्ञात कीजिए (1 MB = 10⁶ बाइट)।

n = 4f_s = 2 kHzN = 14t = 5 min

M = MB

4.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयनकठिन

एक 6-चैनल मल्टीप्लेक्सर एक ADC को निवेश देता है। हर रूपांतरण में 4 µs लगते हैं, और हर चैनल बदलने के बाद निवेश को स्थिर होने में 0.5 µs चाहिए। चैनलों को बिना रुके बारी-बारी से स्कैन किया जाता है। हर चैनल की प्रतिदर्श दर f_s kHz में ज्ञात कीजिए।

n = 6t_c = 4 µst_set = 0.5 µs

f_s = kHz

5.ऑप-एम्प परिपथमध्यम

ऑप-एम्प आदर्श है और ±15 V आपूर्ति से चलता है; इसका आउटपुट ±12 V पर संतृप्त होता है। इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर एक साइन तरंग से चलाया जाता है। वह सबसे बड़ा इनपुट आयाम V_in,max (शिखर मान) ज्ञात कीजिए जिस पर आउटपुट क्लिप नहीं होता।

R₁ = 1 kΩR_f = 10 kΩV_sat = ±12 V

V_in,max = V

6.ऑप-एम्प परिपथकठिन

दो आदर्श ऑप-एम्प चरण सोपानी (कैस्केड) क्रम में जुड़े हैं: एक इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर (R₁, R_f1) और उसके बाद एक नॉन-इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर (ग्राउंड तक R₂, पुनर्निवेश में R_f2)। दोनों ±15 V आपूर्ति से चलते हैं। कुल वोल्टता लब्धि A_v = V_out/V_in ज्ञात कीजिए।

R₁ = 10 kΩR_f1 = 22 kΩR₂ = 100 kΩR_f2 = 1 kΩ

A_v =

7.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधकमध्यम

स्रोत V₁ द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध R_eq ज्ञात कीजिए।

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

8.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधककठिन

स्रोत द्वारा दी गई धारा I_R1 ज्ञात कीजिए, जो R₁ से होकर बहती है।

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

9.थेवेनिन और नॉर्टनमध्यम

टर्मिनल a–b से देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध R_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 Ω

R_th = Ω

10.थेवेनिन और नॉर्टनकठिन

टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता V_th ज्ञात कीजिए।

V₁ = 9 VI_s = 1 AR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

3विलयन

1.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज

उत्तर: R_th = 236.4 Ω

व्हीटस्टोन सेतु: दो वोल्टता विभाजक एक ही आपूर्ति V_s साझा करते हैं। बायाँ विभाजक R₁–R₂ V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) देता है और दायाँ विभाजक R₃–R₄ V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄) देता है; निर्गत V_ab = V_a − V_b है। सेतु संतुलित (V_ab = 0, मापी में कोई धारा नहीं) तब होता है जब R₁/R₂ = R₃/R₄, यानी R₁·R₄ = R₂·R₃। निर्गत के सिरों से देखने पर सेतु एक थेवेनिन स्रोत है जिसमें R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄।

आपूर्ति लघुपथित

R₁∥R₂ = 300·800/1100 = 218.2 Ω

R₃∥R₄ = 200·20/220 = 18.18 Ω

थेवेनिन प्रतिरोध

R_th = 236.4 Ω

उत्तर

R_th = 236.4 Ω

2.व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज

उत्तर: σ = 84 MPa

स्ट्रेन गेज: गेज विकृति के साथ अपना प्रतिरोध बदलता है: ΔR/R = GF·ε, जहाँ धात्विक फ़ॉइल के लिए गेज गुणांक GF लगभग 2 होता है। सभी भुजाएँ R के बराबर वाले सेतु में एक सक्रिय गेज (चतुर्थांश सेतु) V_o ≈ V_s·GF·ε/4 देता है। आसन्न भुजाओं में विपरीत विकृति वाले दो सक्रिय गेज (अर्ध सेतु) V_s·GF·ε/2 देते हैं, और चार (पूर्ण सेतु) V_s·GF·ε देते हैं। प्रतिबल हुक के नियम से मिलता है, σ = E·ε। लोड सेल अपनी संवेदनशीलता mV/V में बताते हैं: प्रति वोल्ट उत्तेजन पर पूर्ण भार पर निर्गत।

विकृति

ε = 4·0.0005/(2.5·2) = 0.0004

प्रतिबल

σ = 210·10³ MPa·0.0004 = 84 MPa

उत्तर

σ = 84 MPa

3.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन

उत्तर: M = 4.8 MB

डेटा दरें: हर चैनल प्रति सेकंड N बिट के f_s प्रतिदर्श देता है, इसलिए कच्ची दर चैनल × f_s × N bit/s है। मेमोरी में एक प्रतिदर्श पूरे बाइट लेता है (12-बिट प्रतिदर्श 2 बाइट में सहेजा जाता है), इसलिए किसी रिकॉर्डिंग की मेमोरी चैनल × f_s × प्रति प्रतिदर्श बाइट × समय है। मल्टीप्लेक्स्ड ADC चैनलों को एक के बाद एक रूपांतरित करता है: हर रूपांतरण (स्थिरीकरण सहित) में समय t लगता है, इसलिए n चैनलों का एक चक्कर n·t लेता है और हर चैनल 1/(n·t) पर प्रतिदर्शित होता है।

प्रति प्रतिदर्श बाइट

⌈14/8⌉ = 2 B

बाइट दर

4·2000·2 = 16000 B/s

मेमोरी

M = 16000·300 = 4.8 × 10⁶ B = 4.8 MB

उत्तर

M = 4.8 MB

4.डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन

उत्तर: f_s = 37.04 kHz

प्रति चैनल समय

4 + 0.5 = 4.5 µs

प्रति स्कैन समय

6·4.5 = 27 µs

प्रति चैनल प्रतिदर्श दर

f_s = 1/27 µs = 37.04 kHz

उत्तर

f_s = 37.04 kHz

5.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: V_in,max = 1.2 V

आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।

लब्धि

|A_v| = R_f/R₁ = 10/1 = 10

क्लिपिंग से पहले सबसे बड़ा इनपुट

V_in,max = V_sat/|A_v| = 12/10 = 1.2 V

उत्तर

V_in,max = 1.2 V

6.ऑप-एम्प परिपथ

उत्तर: A_v = −2.222

हर चरण की लब्धि

A₁ = −R_f1/R₁ = −22/10 = −2.2

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 1/100 = 1.01

कुल लब्धि

A_v = A₁·A₂ = −2.2·1.01 = −2.222

उत्तर

A_v = −2.222

7.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: R_eq = 7.333 Ω

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।

R₃ + R₄ = 4 + 12 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5.333 Ω

R_eq = R₁ + 5.333 = 2 + 5.333 = 7.333 Ω

उत्तर

R_eq = 7.333 Ω

8.श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

उत्तर: I_R1 = 0.3605 A

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 9.767 Ω

R₃ + 9.767 = 21.77 Ω

R₂ ∥ 21.77 = 7.736 Ω

R_eq = R₁ + 7.736 = 20 + 7.736 = 27.74 Ω

स्रोत से धारा

स्रोत केवल R_eq देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27.74 = 0.3605 A

उत्तर

I_R1 = 0.3605 A

9.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: R_th = 9 Ω

थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध R_th के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत V_th जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को R_th के समांतर धारा स्रोत I_N = V_th/R_th के रूप में देता है।

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1 + 8 = 9 Ω

10.थेवेनिन और नॉर्टन

उत्तर: V_th = 13.5 V

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10+10) = 5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5 + 4 = 9 Ω

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.5 + 1·5 = 9.5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9.5 + 1·4 = 13.5 V

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मापन और यंत्रीकरण: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

व्हीटस्टोन सेतु और स्ट्रेन गेज

विधि

डेटा अधिग्रहण और प्रतिचयन

विधि

ऑप-एम्प परिपथ

श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक

विधि

थेवेनिन और नॉर्टन

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

आपूर्ति लघुपथित

थेवेनिन प्रतिरोध

उत्तर

विकृति

प्रतिबल

उत्तर

प्रति प्रतिदर्श बाइट

बाइट दर

मेमोरी

उत्तर

प्रति चैनल समय

प्रति स्कैन समय

प्रति चैनल प्रतिदर्श दर

उत्तर

लब्धि

क्लिपिंग से पहले सबसे बड़ा इनपुट

उत्तर

हर चरण की लब्धि

कुल लब्धि

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

उत्तर

दूर वाले सिरे से प्रतिरोधक जोड़ें

स्रोत से धारा

उत्तर

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके Rth ज्ञात करें

Vth, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

सभी स्रोत बंद करके R_th ज्ञात करें

V_th, खुले परिपथ की वोल्टता ज्ञात करें