पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNखंड 1: Ø40 mm, 2 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक सोपानी ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। खंड AB का व्यास 60 mm और लंबाई 2 m है; खंड BC का व्यास 30 mm और लंबाई 1.2 m है। मुक्त सिरे C पर 750 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C का मरोड़ कोण φ_C डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1.2 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 750 rpm पर 100 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 6 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mP = 45 kN पर 5 mw = 12 kN/m, 0 से 8 m तकx = 5 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 140 mm, बाहरी ऊँचाई H = 175 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 6 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

B = 140 mmH = 175 mmt = 6 mm

r = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = −20 MPa और σᵧ = 20 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 55 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τ_xy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σ_x = −20 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 55 MPa

τ_xy = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = 10 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 25° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 2.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 13 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 10 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 2546 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78.54 = 509.3 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509.3/200000 = 0.002546 = 2546 µε

उत्तर

ε = 2546 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 4.31 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 31.83 MPa

σ₂ = 198.9 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31.83·2000/70000 = 0.9095 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198.9·2000/117000 = 3.401 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.31 mm

उत्तर

δ = 4.31 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 18.36 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

हर खंड का मरोड़

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 750000·2000/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.03023 rad

φ_BC = 750000·1200/(39000·79522) = 0.2902 rad

कुल मरोड़

φ_C = 0.03023 + 0.2902 = 0.3204 rad = 18.36°

उत्तर

φ_C = 18.36°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 50.62 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·50)) = 50.62 mm

उत्तर

d = 50.62 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 55 kN, R₂ = 55 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 180, M_D = 240 kN·m, M_E = 180, M_F = 100, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 240 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 174.4 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 12·8·4

R_B = 609/8 = 76.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 76.13 = 64.88 kN

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 64.88·5 − 12·5·2.5 = 174.4 kN·m

उत्तर

M_x = 174.4 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 67.02 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

b = 128 mm, h = 163 mm

A = BH − bh = 140·175 − 128·163 = 3636 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.633 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(1.633 × 10⁷/3636) = 67.02 mm

उत्तर

r = 67.02 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 30.23 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

वेब: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·227.5 + 2640·110)/7140 = 184.1 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 300·15³/12 + 4500·(227.5 − 184.1)² = 8.578 × 10⁶ mm⁴

वेब: 12·220³/12 + 2640·(110 − 184.1)² = 2.513 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.578 × 10⁶ + 2.513 × 10⁷ = 3.37 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 235 − 184.1 = 50.95 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·50.95/3.37 × 10⁷ = 30.23 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 30.23 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_xy = 51.23 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (−20 + 20)/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 55 − 0 = 55 MPa

अपरूपण प्रतिबल

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 20²) = 51.23 MPa

उत्तर

τ_xy = 51.23 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 100.9 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 45 + 75·0.6428 + 10·0.766 = 100.9 MPa

उत्तर

σ_θ = 100.9 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 59.84 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 13000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 13000·2500²·3500²/(3·9.24 × 10¹¹·6000) = 59.84 mm

उत्तर

δ_P = 59.84 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: R_B = 12 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

उत्तर

R_B = 12 kN

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 186.5 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1050² = 186500 N = 186.5 kN

उत्तर

P_cr = 186.5 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 40.57 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 40.57 mm

उत्तर

d = 40.57 mm

जाँच: तनुता KL/r = 172.5 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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