अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।
P = 35 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 500 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 80 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
T = 100 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक खोखले शाफ़्ट को 3000 rpm पर 50 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.7 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास do ज्ञात कीजिए।
P = 50 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 1 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण MA ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।
L = 5 mP = 75 kN पर 1 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तक
MA = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 6 mP = 50 kN पर 2.5 mw = 12 kN/m, 0 से 6 m तक
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 240 mm, बाहरी ऊँचाई H = 350 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 12 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।
B = 240 mmH = 350 mmt = 12 mm
r = mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 150 × 24 mm, वेब 350 mm ऊँचा और 10 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 290 × 10 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।
ऊपरी फ़्लेंज: 150 × 24 mmवेब: 10 × 350 mmनिचला फ़्लेंज: 290 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θp, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।
σx = 150 MPaσy = 30 MPaτxy = −60 MPa
θp = °
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σθ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 50° वामावर्त घुमाया गया है।
σx = 40 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 3 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।
P = 11 kNa = 3 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।
L = 5 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 4 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 25 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: ε = 713 µε
हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।
प्रतिबल
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 35·1000/490.9 = 71.3 MPa
विकृति (हुक का नियम)
E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 71.3/100000 = 0.000713 = 713 µε
उत्तर
ε = 713 µε
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 56.3 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 110000·706.9/500 = 155509 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 80000·155509/312588 = 39799 N
प्रतिबल
σ2 = 39799/706.9 = 56.3 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 56.3 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: φ = 2.192 °
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·251327) = 0.03826 rad
φ = 0.03826·180/π = 2.192°
उत्तर
φ = 2.192°
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: do = 29.88 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·40·0.7599)) = 29.88 mm
di = 0.7·29.88 = 20.91 mm
उत्तर
do = 29.88 mm
ठोस शाफ़्ट को d = 27.26 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: MA = −225 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
मुक्त-सिरे वाला भाग रखें
P: −75·1 = −75 kN·m
w: −12·5²/2 = −150 kN·m
MA = −75 − 150 = −225 kN·m
उत्तर
MA = −225 kN·m
ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 125.4 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2.5 + 12·6·3
RB = 341/6 = 56.83 kN
ΣFy = 0: RA = 122 − 56.83 = 65.17 kN
V = 0 कहाँ है?
V(2.5⁻) = RA − w·2.5 = 35.17 kN
V(2.5⁺) = 35.17 − 50 = −14.83 kN
भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।
अधिकतम आघूर्ण
Mmax = RA·2.5 − w·2.5²/2 = 65.17·2.5 − 12·2.5²/2 = 125.4 kN·m
उत्तर
Mmax = 125.4 kN·m
यह A से x = 2.5 m पर होता है।
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: r = 131.2 mm
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।
शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण
b = 216 mm, h = 326 mm
A = BH − bh = 240·350 − 216·326 = 13584 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2.339 × 10⁸ mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या
r = √(I/A) = √(2.339 × 10⁸/13584) = 131.2 mm
उत्तर
r = 131.2 mm
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Ix = 253.5 × 10⁶ mm⁴
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
तीन आयतों में बाँटें
हर y को निचले किनारे से मापें।
ऊपरी फ़्लेंज: A = 3600 mm², y = 372 mm
वेब: A = 3500 mm², y = 185 mm
निचला फ़्लेंज: A = 2900 mm², y = 5 mm
केंद्रक
ȳ = (3600·372 + 3500·185 + 2900·5)/10000 = 200.1 mm
समांतर अक्ष प्रमेय
ऊपरी फ़्लेंज: 150·24³/12 + 3600·171.9² = 1.065 × 10⁸ mm⁴
वेब: 10·350³/12 + 3500·15.12² = 3.653 × 10⁷ mm⁴
निचला फ़्लेंज: 290·10³/12 + 2900·195.1² = 1.104 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.065 × 10⁸ + 3.653 × 10⁷ + 1.104 × 10⁸
Ix = 2.535 × 10⁸ mm⁴ = 253.5 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ix = 253.5 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: θp = −22.5 °
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण
मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।
2θp = atan2(2·−60, 150 − 30) = −45°
अवयव पर कोण
θp = −22.5°
उत्तर
θp = −22.5°
धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: σθ = 69.54 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
रूपांतरण समीकरण
σθ = 40 + 0·−0.1736 + 30·0.9848 = 69.54 MPa
उत्तर
σθ = 69.54 MPa
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δP = 11 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
P = 11000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
भार के नीचे विक्षेप
δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·3000²·2000²/(3·2.4 × 10¹²·5000) = 11 mm
उत्तर
δP = 11 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: RB = 9.375 kN
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।
टेक हटाएँ
टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।
δload = wL⁴/(8EI)
टेक पर संगतता
अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·5/8 = 9.375 kN
उत्तर
RB = 9.375 kN
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 62.01 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN
उत्तर
Pcr = 62.01 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 49.35 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/6.25 = 200
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
उत्तर
σcr = 49.35 MPa
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