पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
300 kNØ20100 GPaØ100/60500 mmδ = ?

एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 100 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 300 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 300 kNछड़: Ø20 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
Ø 30 mmताँबा0.5 mØ 20 mmताँबा0.5 mP = 35 kN

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σmax ज्ञात कीजिए।

P = 35 kNखंड 1: Ø30 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mφ = ?

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 500 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Tdo​ = 100 mm, di​ = 80 mm

एक खोखला शाफ़्ट 1450 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 1450 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
M0​ = 30 kN·mAB2.5 m3.5 m

सरल आलंबित बीम A से x = 2.5 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M0 = 30 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक बाईं ओर बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 6 mM0 = 30 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 2.5 m
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 10 kN/mP = 35 kNABखंड6 m4 m

आलंब A से x = 6 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mP = 35 kN पर 6 mw = 10 kN/m, 0 से 10 m तकx = 6 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
2001028020xआयाम mm में

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

bf = 200 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
120 mm300 mm105 mm30 × 30xIx​ = ?

120 mm × 300 mm की एक प्लेट में 30 mm चौड़ा और 30 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 105 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 120 mmh = 300 mmकटाव: 30 × 30 mmछिद्र का केंद्र: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = 0σy​ = 110τxy​ = 10MPa

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 0 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 10 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।

σx = 0 MPaσy = 110 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = 60σy​ = 120τxy​ = −10MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa और τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0)। वॉन मीज़ेस तुल्य प्रतिबल σvM ज्ञात कीजिए।

σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −10 MPa
σvM = MPa
11.बीम विक्षेपमध्यम
P = 10 kNABδ2 m1 m

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δP ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
P = 3 kNABδ3 m2 m

एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। मध्य-विस्तार पर विक्षेप δmid ज्ञात कीजिए।

P = 3 kNb = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 3 m25 × 40 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
P = 125 kNL = 2 md = ?अनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 125 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 125 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)
d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.2653 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 300000·500/5.655 × 10⁸ = 0.2653 mm

उत्तर

δ = 0.2653 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σmax = 111.4 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 49.51 MPa
σ2 = 111.4 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σmax = 111.4 MPa

उत्तर

σmax = 111.4 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 4.503 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·79522) = 0.0786 rad
φ = 0.0786·180/π = 4.503°

उत्तर

φ = 4.503°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τmax = 5.681 MPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5.796 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τmax = T·(do/2)/J = 658572·50/5.796 × 10⁶ = 5.681 MPa

उत्तर

τmax = 5.681 MPa
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = −12.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: RB·L − M0 = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: RA + RB = 0।

RB = M0/L = 30/6 = 5 kN (ऊपर की ओर)
RA = −RB = −5 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक बाईं ओर काटें

बाएँ भाग में केवल RA है।

Mx = RA·a = −5·2.5 = −12.5 kN·m

उत्तर

Mx = −12.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 204 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·10 = 35·6 + 10·10·5
RB = 710/10 = 71 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 71 = 64 kN
w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​ = 64RB​ = 71खंड6 m4 m

x = 6 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 64·6 − 10·6·3 = 204 kN·m

उत्तर

Mx = 204 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 67.59 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: Af = 200·10 = 2000 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
वेब: Aw = 20·280 = 5600 mm², yw = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·285 + 5600·140)/7600 = 178.2 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 200·10³/12 + 2000·(285 − 178.2)² = 2.285 × 10⁷ mm⁴
वेब: 20·280³/12 + 5600·(140 − 178.2)² = 4.474 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.285 × 10⁷ + 4.474 × 10⁷ = 6.759 × 10⁷ mm⁴ = 67.59 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 67.59 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 268.1 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (36000·150 − 900·105)/(36000 − 900) = 151.2 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

120·300³/12 + 36000·−1.154² = 270 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

30·30³/12 + 900·−46.15² = 1.985 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 268.1 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 268.1 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τmax = 55.9 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

στxyCτmax​

मोर वृत्त की त्रिज्या

τmax = R = √(((0 − 110)/2)² + 10²) = 55.9 MPa

उत्तर

τmax = 55.9 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σvM = 105.4 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

σxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = 90 MPa, R = 31.62 MPa
σ1 = 121.6 MPa, σ2 = 58.38 MPa, σ3 = 0

वॉन मीज़ेस

σvM = √(121.6² − 121.6·58.38 + 58.38²) = 105.4 MPa

उत्तर

σvM = 105.4 MPa
11.बीम विक्षेप

उत्तर: δP = 15.15 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 10000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δP = Pa³/(3EI) = 10000·2000³/(3·1.76 × 10¹²) = 15.15 mm

उत्तर

δP = 15.15 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: δmid = 1.603 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 3000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

मध्य विक्षेप

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 3000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·4.6 × 10¹²) = 1.603 mm

उत्तर

δmid = 1.603 mm
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 8.159 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2100² = 8159 N = 8.159 kN

उत्तर

Pcr = 8.159 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 84.76 mm

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

आवश्यक क्रांतिक भार

Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 84.76 mm

उत्तर

d = 84.76 mm

जाँच: तनुता KL/r = 188.8 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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