पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 300 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 250 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 250 kNछड़: Ø25 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kNखंड 1: Ø40 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एल्युमिनियम का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 300 rpm पर 50 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 5 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तकx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 10 kN पर 2 mw = 4 kN/m, 0 से 8 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक चैनल खंड अपनी खुली ओर ऊपर करके रखा है: 200 mm चौड़ी आधार प्लेट और दो खड़ी भुजाएँ, कुल 100 mm ऊँची। आधार और भुजाएँ सभी 18 mm मोटी हैं। निचली कोर से केंद्रक की ऊँचाई ȳ ज्ञात कीजिए।

b = 200 mmh = 100 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 10 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 120 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 60 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 30° दक्षिणावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। आलंब A पर बीम की प्रवणता θ_A रेडियन में ज्ञात कीजिए।

w = 10 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 125 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/300 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 125 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.09316 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5890 = 8.05 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 250000·300/8.05 × 10⁸ = 0.09316 mm

उत्तर

δ = 0.09316 mm

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.389 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 11.94 MPa

σ₂ = 132.6 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11.94·1500/70000 = 0.2558 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132.6·1000/117000 = 1.134 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.389 mm

उत्तर

δ = 1.389 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 11.49 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·38350) = 0.2006 rad

φ = 0.2006·180/π = 11.49°

उत्तर

φ = 11.49°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 40.03 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.592 × 10⁶·30/1.193 × 10⁶ = 40.03 MPa

उत्तर

τ_max = 40.03 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 37.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, x̄ = 2.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 30·2.5 − 12·2.5·1.25 = 37.5 kN·m

उत्तर

M_x = 37.5 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 42.78 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2 + 4·8·4

R_B = 148/8 = 18.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 18.5 = 23.5 kN

V = 0 कहाँ है?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (23.5 − 10)/4 = 3.375 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 2) − w·x₀²/2 = 42.78 kN·m

उत्तर

M_max = 42.78 kN·m

यह A से x = 3.375 m पर होता है।

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: ȳ = 31.53 mm

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

आयतों में बाँटें

आधार को पूरी चौड़ाई पर और दोनों भुजाओं को उसके ऊपर (ऊँचाई h − t) लें, ताकि कुछ भी दो बार न गिना जाए।

आधार: A₁ = 200·18 = 3600 mm², y₁ = 9 mm

दो भुजाएँ: A₂ = 2·18·82 = 2952 mm², y₂ = 18 + 82/2 = 59 mm

केंद्रक

ȳ = (3600·9 + 2952·59)/6552 = 31.53 mm

उत्तर

ȳ = 31.53 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 41.99 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 120·25 = 3000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

वेब: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·292.5 + 2800·140)/5800 = 218.9 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 120·25³/12 + 3000·(292.5 − 218.9)² = 1.642 × 10⁷ mm⁴

वेब: 10·280³/12 + 2800·(140 − 218.9)² = 3.571 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.642 × 10⁷ + 3.571 × 10⁷ = 5.213 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 218.9 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·218.9/5.213 × 10⁷ = 41.99 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 41.99 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = 62.32 MPa

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 50 − 10·0.5 − 20·(−0.866) = 62.32 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = 37.68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 100 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = 62.32 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 2.394

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 45 MPa, R = 61.03 MPa

σ₁ = 106 MPa, σ₂ = −16.03 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(106² − 106·(−16.03) + (−16.03)²) = 114.9 MPa

n = 275/114.9 = 2.394

उत्तर

n = 2.394

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: θ_A = 0.01504 rad

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। प्रवणता θ = dv/dx, M/(EI) का प्रथम समाकल है; संगत इकाइयों में यह रेडियन में आती है।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

सिरा प्रवणता

θ_A = wL³/(24EI) = 10·1500³/(24·9.35 × 10¹⁰) = 0.01504 rad

उत्तर

θ_A = 0.01504 rad

यह 0.8617° है।

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 167 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·15) = 4.854 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·4.854 × 10⁷/125)^1/3 = 167 mm

उत्तर

h_req = 167 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 27.47 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27.47 kN

उत्तर

P_cr = 27.47 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 100.7 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

उत्तर

σ_cr = 100.7 MPa

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