पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो काँसा के बने खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 110 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.2 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm

P = kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 500 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 30 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 12 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 20 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 250 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 3.61° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 20 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 3.61°

G = GPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखले शाफ़्ट को 750 rpm पर 20 kW संचारित करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.5 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

P = 20 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 4 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mw = 6 kN/m, 0 से 6 m तकx = 4 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 20 kN पर 1.5 mw = 8 kN/m, 0 से 6 m तकx = 1 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

एक वेल्डित I-खंड का ऊपरी फ़्लेंज 100 × 14 mm, वेब 380 mm ऊँचा और 16 mm मोटा, और निचला फ़्लेंज 210 × 20 mm (चौड़ाई × मोटाई) है। उसके केंद्रक से होकर जाने वाली क्षैतिज अक्ष x के परितः उसका क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

ऊपरी फ़्लेंज: 100 × 14 mmवेब: 16 × 380 mmनिचला फ़्लेंज: 210 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 50 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 20° दक्षिणावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

30 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 100 N·m के बलाघूर्ण के साथ 1000 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 100 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 4 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 6 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 2 kNw = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 95 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 95 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 19.56 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·706.9) = 3.858 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.2/1.022 × 10⁻⁵ = 19561 N = 19.56 kN

उत्तर

P = 19.56 kN

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 6.766 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 30000·622035/975465 = 19130 N

प्रतिबल

σ₂ = 19130/2827 = 6.766 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 6.766 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 38.98 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 3.61·π/180 = 0.06301 rad

अपरूपण गुणांक

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·250/(2036·0.06301) = 38982 MPa

G = 38.98 GPa

उत्तर

G = 38.98 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 32.58 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 254.6 N·m = 254648 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·254648/(π·40·0.9375)) = 32.58 mm

d_i = 0.5·32.58 = 16.29 mm

उत्तर

d_o = 32.58 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 31.89 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 24 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

x = 4 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 18·4 − 6·4·2 = 24 kN·m

उत्तर

M_x = 24 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 35 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1.5 + 8·6·3

R_B = 174/6 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 29 = 39 kN

x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 39·1 − 8·1·0.5 = 35 kN·m

उत्तर

M_x = 35 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 37.77 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227.5 mm

वेब: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·227.5 + 3520·110)/6820 = 166.9 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 220·15³/12 + 3300·(227.5 − 166.9)² = 1.22 × 10⁷ mm⁴

वेब: 16·220³/12 + 3520·(110 − 166.9)² = 2.558 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.22 × 10⁷ + 2.558 × 10⁷ = 3.777 × 10⁷ mm⁴ = 37.77 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 37.77 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 268.4 × 10⁶ mm⁴

तीन आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

ऊपरी फ़्लेंज: A = 1400 mm², y = 407 mm

वेब: A = 6080 mm², y = 210 mm

निचला फ़्लेंज: A = 4200 mm², y = 10 mm

केंद्रक

ȳ = (1400·407 + 6080·210 + 4200·10)/11680 = 161.7 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

ऊपरी फ़्लेंज: 100·14³/12 + 1400·245.3² = 8.427 × 10⁷ mm⁴

वेब: 16·380³/12 + 6080·48.3² = 8.735 × 10⁷ mm⁴

निचला फ़्लेंज: 210·20³/12 + 4200·151.7² = 9.679 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.427 × 10⁷ + 8.735 × 10⁷ + 9.679 × 10⁷

I_x = 2.684 × 10⁸ mm⁴ = 268.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 268.4 × 10⁶ mm⁴

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = −16.62 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 5 − 45·0.766 − 20·(−0.6428) = −16.62 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = 26.62 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = −16.62 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 378.2 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377.3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 188.6 MPa

R = √(188.6² + 18.86²) = 189.6 MPa

σ₁ = C + R = 378.2 MPa

σ₂ = C − R = −0.9408 MPa

उत्तर

σ₁ = 378.2 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 4.638 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 6000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·4000²·2000²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 4.638 mm

उत्तर

δ_P = 4.638 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 5.089 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 2000 N, w = 2 N/mm, L = 6000 mm, EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·6000³/(48·8.4 × 10¹²) = 1.071 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 4.018 mm

जोड़ें

δ_max = 1.071 + 4.018 = 5.089 mm

उत्तर

δ_max = 5.089 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 7.087 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7.087 kN

उत्तर

P_cr = 7.087 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 48.46 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·95000 = 237500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 48.46 mm

उत्तर

d = 48.46 mm

जाँच: तनुता KL/r = 123.8 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

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