पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एल्युमिनियम छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 95 kNd = 16 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 20 kNखंड 1: Ø30 mm, 0.5 m, पीतल (E = 100 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 750 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1450 rpm पर 10 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

45 kN @ 2 m6 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 2 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 6 mP = 15 kN पर 3.5 mw = 10 kN/m, 0 से 6 m तकx = 2 m

M_x = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। निचले किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_नीचे ज्ञात कीजिए।

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_नीचे = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa और τₓᵧ = −60 MPa है (तनन धनात्मक)। अवयव को 35° वामावर्त घुमाया जाता है। घुमाए गए अवयव के उन फलकों पर अभिलंब प्रतिबल σ_y′ ज्ञात कीजिए जो घुमाई गई y′-अक्ष के लंबवत हैं।

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 250 N·m के बलाघूर्ण के साथ 70 kN का अक्षीय संपीडन बल वहन करता है। शाफ़्ट की सतह पर, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmF = −70 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 26 kNa = 2.5 mL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 3 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 6750 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 95·1000/201.1 = 472.5 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 472.5/70000 = 0.00675 = 6750 µε

उत्तर

ε = 6750 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.562 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 28.29 MPa

σ₂ = 99.47 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 28.29·500/100000 = 0.1415 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99.47·1000/70000 = 1.421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.562 mm

उत्तर

δ = 1.562 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.155 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(39000·613592) = 0.03761 rad

φ = 0.03761·180/π = 2.155°

उत्तर

φ = 2.155°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 17.75 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 10000/151.8 = 65.86 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·65857/(π·60)) = 17.75 mm

उत्तर

d = 17.75 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: C (x = 2 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 38 kN, R₂ = 31 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 38, M_C = 76 kN·m, M_D = 66, M_E = 50, M_F = 28, M_G = 0

उत्तर

चिह्न C: M_C = 76 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 52.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3.5 + 10·6·3

R_B = 232.5/6 = 38.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 38.75 = 36.25 kN

x = 2 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 36.25·2 − 10·2·1 = 52.5 kN·m

उत्तर

M_x = 52.5 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 25.01 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212.5 mm

वेब: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·212.5 + 2000·100)/7000 = 180.4 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 200·25³/12 + 5000·(212.5 − 180.4)² = 5.426 × 10⁶ mm⁴

वेब: 10·200³/12 + 2000·(100 − 180.4)² = 1.958 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.426 × 10⁶ + 1.958 × 10⁷ = 2.501 × 10⁷ mm⁴ = 25.01 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 25.01 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_नीचे = 205.7 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

वेब: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·145 + 2800·70)/3800 = 89.74 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 100·10³/12 + 1000·(145 − 89.74)² = 3.062 × 10⁶ mm⁴

वेब: 20·140³/12 + 2800·(70 − 89.74)² = 5.664 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.062 × 10⁶ + 5.664 × 10⁶ = 8.726 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

निचला किनारा अक्ष से ȳ दूर है।

y = 89.74 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·89.74/8.726 × 10⁶ = 205.7 MPa

उत्तर

σ_नीचे = 205.7 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_y′ = 129.4 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

y′ फलक के लिए रूपांतरण समीकरण

σ_y′ = 85 − 35·0.342 − (−60)·0.9397 = 129.4 MPa

जाँच

घुमाने से अभिलंब प्रतिबलों का योग नहीं बदलता।

σ_x′ = 40.59 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

उत्तर

σ_y′ = 129.4 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 6.375 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = F/A = −70000/(π·40²/4) = −70000/1257 = −55.7 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = −27.85 MPa

R = √((−27.85)² + 19.89²) = 34.23 MPa

σ₁ = C + R = 6.375 MPa

σ₂ = C − R = −62.08 MPa

उत्तर

σ₁ = 6.375 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_B = 10.58 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 26000 N, a = 2500 mm, L = 5000 mm

EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.232 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.002539 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.58 mm

उत्तर

δ_B = 10.58 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 3.516 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 30000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·3000³/(48·7.2 × 10¹²) = 2.344 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·7.2 × 10¹²) = 1.172 mm

जोड़ें

δ_max = 2.344 + 1.172 = 3.516 mm

उत्तर

δ_max = 3.516 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 19.99 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·6000 = 6000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1.042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19.99 kN

उत्तर

P_cr = 19.99 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 2.999 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/12.5 = 480

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2.999 MPa

उत्तर

σ_cr = 2.999 MPa

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