पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल
σ = F/A
विकृति
ε = ΔL/L
हुक का नियम
σ = E·ε
दीर्घीकरण
ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति
εT = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल
τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट
J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट
J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण
φ = TL/(GJ)
शक्ति
P = T·ω = 2πnT/60

विधि

  1. ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
  2. सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
  3. ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
  4. यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण
V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल
σ = M·y/I
आयत
I = bh³/12
खंड मापांक
W = I/ymax
सरल आधारित, एकसमान भार
Mmax = wL²/8

विधि

  1. पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
  2. बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
  3. अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
  4. अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
आयत
I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय
I = Ic + A·d²
संयुक्त खंड
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र
C = (σx + σy)/2
त्रिज्या
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
मुख्य प्रतिबल
σ1,2 = C ± R
मुख्य दिशा
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
झुका हुआ तल
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

विधि

  1. मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
  2. त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
  3. मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
  4. वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित
δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार
δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार
δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण
δ = δ1 + δ2

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार
Pcr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक
K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = Pcr/A
पतलापन अनुपात
λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
150 kNØ25120 GPaØ80/60600 mmδ = ?

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 600 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 150 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 150 kNछड़: Ø25 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
P = ?Ø20110 GPaØ120/60500 mm

एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 150 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 60 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार Pmax ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mφ = ?

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 20 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
Td = ?

एक ठोस शाफ़्ट को 1000 rpm पर 15 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 50 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
P1​ = 20 kNP2​ = 55 kNABC1 m7 m1 m

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P1 और C पर बिंदु भार P2 वहन करता है। भार P1 के नीचे बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 9 mP1 = 20 kN पर 1 mP2 = 55 kN पर 9 mआलंब x = 0 और x = 8 m पर
Mx = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
w = 5 kN/mABC5 m2 m

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच अधिकतम सैगिंग बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।

L = 7 mw = 5 kN/m, 0 से 7 m तकआलंब x = 0 और x = 5 m पर
Mmax = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
150 mm300 mm120 mmØ40xIx​ = ?

150 mm × 300 mm की एक प्लेट में उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर व्यास 40 mm का वृत्ताकार छिद्र है, जिसका केंद्र नीचे से 120 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
100 mm150 mm105 mm40 × 40xIx​ = ?

100 mm × 150 mm की एक प्लेट में 40 mm चौड़ा और 40 mm ऊँचा आयताकार कटाव है, जो ऊर्ध्वाधर केंद्र रेखा पर केंद्रित है और जिसका केंद्र नीचे से 105 mm ऊपर है। केंद्रक से गुज़रने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण Ix ज्ञात कीजिए।

b = 100 mmh = 150 mmकटाव: 40 × 40 mmछिद्र का केंद्र: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
σx​ = −80σy​ = −40τxy​ = 10MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −40 MPa और τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τabs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σx = −80 MPaσy = −40 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
σx​ = −80τxy​ = −20MPa

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 460 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σx = −80 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaσY = 460 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
w = 2 kN/mδL = 2.5 m

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δmax ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
w = 15 kN/mAB5 m

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया RB ज्ञात कीजिए।

L = 5 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
PL = 4 m25 × 80 mmअनुप्रस्थ काट

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
PL = 1 md = 20 mmअनुप्रस्थ काट

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 200 GPa (स्टील)d = 20 mm
σcr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.2486 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·2199 = 3.621 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 150000·600/3.621 × 10⁸ = 0.2486 mm

उत्तर

δ = 0.2486 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: Pmax = 543.2 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·8482 = 9.959 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.00075, 0.0005455) = 0.0005455 (काँसा)

सबसे बड़ा भार

Pmax = 0.0005455·9.959 × 10⁸ = 543210 N = 543.2 kN

उत्तर

Pmax = 543.2 kN
3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 6.839 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·15708) = 0.1194 rad
φ = 0.1194·180/π = 6.839°

उत्तर

φ = 6.839°
4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 24.44 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·50)) = 24.44 mm

उत्तर

d = 24.44 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mx = 10.63 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣMA = 0: RB·8 = 20·1 + 55·9
RB = 515/8 = 64.38 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 64.38 = 10.63 kN

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

Mx = RA·1 = 10.63·1 = 10.63 kN·m

उत्तर

Mx = 10.63 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: Mmax = 11.03 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·5 = 5·7·3.5
RB = 122.5/5 = 24.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 24.5 = 10.5 kN

शून्य अपरूपण

RA − w·x0 = 0 → x0 = 10.5/5 = 2.1 m

अधिकतम सैगिंग आघूर्ण

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 10.5²/(2·5) = 11.03 kN·m

उत्तर

Mmax = 11.03 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 336.2 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (45000·150 − 1257·120)/(45000 − 1257) = 150.9 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

150·300³/12 + 45000·−0.8618² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

π·40⁴/64 + 1257·−30.86² = 1.323 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 336.2 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 336.2 × 10⁶ mm⁴
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: Ix = 26.3 × 10⁶ mm⁴

छिद्र वाले परिच्छेद: छिद्र को ऋणात्मक क्षेत्रफल मानें। केंद्रक ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) है, जहाँ A₁, y₁ पूरी प्लेट के लिए और A₂, y₂ छिद्र के लिए हैं। केंद्रक अक्ष के परितः क्षेत्रफल के द्वितीय आघूर्ण के लिए हर भाग पर समांतर-अक्ष प्रमेय लगाएँ और छिद्र घटाएँ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), जहाँ d हर भाग के अपने केंद्रक से ȳ से गुज़रने वाले अक्ष तक की दूरी है। आयत के लिए Ic = bh³/12 और वृत्त के लिए Ic = πd⁴/64।

केंद्रक

ȳ = (15000·75 − 1600·105)/(15000 − 1600) = 71.42 mm

ȳ के परितः पूरी प्लेट

100·150³/12 + 15000·3.582² = 28.32 × 10⁶ mm⁴

ȳ के परितः छिद्र

40·40³/12 + 1600·33.58² = 2.018 × 10⁶ mm⁴

घटाइए

Ix = 26.3 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

Ix = 26.3 × 10⁶ mm⁴
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τabs = 41.18 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σmax − σmin)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

σxyCσ1​σ2​

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = −60 MPa, R = √((−20)² + 10²) = 22.36 MPa
σ1 = −37.64 MPa, σ2 = −82.36 MPa, σz = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(44.72, 37.64, 82.36)/2 = 41.18 MPa

उत्तर

τabs = 41.18 MPa

यहाँ तल से बाहर वाला वृत्त निर्णायक है: निरपेक्ष अधिकतम तलीय अधिकतम R से बड़ा है।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 5.143

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।

στxyCσ1​σ2​

मुख्य प्रतिबल

C = −40 MPa, R = 44.72 MPa
σ1 = 4.721 MPa, σ2 = −84.72 MPa, σ3 = 0

ट्रेस्का

σmax − σmin = 89.44 MPa
n = 460/89.44 = 5.143

उत्तर

n = 5.143

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δmax = 4.021 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 4.021 mm

उत्तर

δmax = 4.021 mm
12.बीम विक्षेप

उत्तर: RB = 28.13 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δload = wL⁴/(8EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल RB मुक्त सिरे को RBL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28.13 kN

उत्तर

RB = 28.13 kN
13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: Pcr = 9.179 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

क्रांतिक भार

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/2800² = 9179 N = 9.179 kN

उत्तर

Pcr = 9.179 kN
14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σcr = 100.7 MPa

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140

क्रांतिक प्रतिबल

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

उत्तर

σcr = 100.7 MPa

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