पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 80 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 25 kNखंड 1: Ø35 mm, 0.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

δ = mm

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखला एल्युमिनियम शाफ़्ट (बाहरी व्यास 75 mm, भीतरी व्यास 45 mm, लंबाई 1 m) एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे सिरे पर 400 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 300 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

सरल आलंबित बीम A से x = 6 m पर दक्षिणावर्त बलयुग्म M₀ = 10 kN·m वहन करता है, और कोई अन्य भार नहीं। बलयुग्म के ठीक दाईं ओर बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 8 mM₀ = 10 kN·m दक्षिणावर्त, स्थान 6 m

M_x = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 10 mw = 6 kN/m, 5 से 10 m तक

M_max = kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

एक खोखले आयताकार (बॉक्स) खंड की बाहरी चौड़ाई B = 180 mm, बाहरी ऊँचाई H = 225 mm और एकसमान दीवार मोटाई t = 10 mm है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष के परितः उसकी परिभ्रमण त्रिज्या r ज्ञात कीजिए।

B = 180 mmH = 225 mmt = 10 mm

r = mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 20 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 275 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 2176 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/117000 = 0.002176 = 2176 µε

उत्तर

ε = 2176 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 1.291 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 25.98 MPa

σ₂ = 221 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 25.98·500/70000 = 0.1856 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·1000/200000 = 1.105 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1.291 mm

उत्तर

δ = 1.291 mm

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 0.326 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2.704 × 10⁶ mm⁴

मरोड़ कोण

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1000/(26000·2.704 × 10⁶) = 0.00569 rad

φ = 0.00569·180/π = 0.326°

उत्तर

φ = 0.326°

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 41.5 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/575243 = 41.5 MPa

उत्तर

τ_max = 41.5 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 2.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। लगाया गया बलयुग्म बंकन आघूर्ण आरेख में बलयुग्म के परिमाण जितनी छलाँग पैदा करता है।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक: R_B·L − M₀ = 0। ऊर्ध्वाधर संतुलन: R_A + R_B = 0।

R_B = M₀/L = 10/8 = 1.25 kN (ऊपर की ओर)

R_A = −R_B = −1.25 kN (नीचे की ओर)

बलयुग्म के ठीक दाईं ओर काटें

बाएँ भाग में अब R_A और बलयुग्म हैं।

M_x = R_A·a + M₀ = −1.25·6 + 10 = 2.5 kN·m

उत्तर

M_x = 2.5 kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 42.19 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, x̄ = 7.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·5·7.5

R_B = 225/10 = 22.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 22.5 = 7.5 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल R_A से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

R_A − w·(x₀ − 5) = 0

x₀ = 5 + 7.5/6 = 6.25 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 5)²/2 = 7.5·6.25 − 6·1.25²/2 = 42.19 kN·m

उत्तर

M_max = 42.19 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: r = 85.27 mm

क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = I_c + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है। परिभ्रमण त्रिज्या r = √(I/A) वह दूरी है जिस पर पूरा क्षेत्रफल वही I देगा; इसका उपयोग स्तंभ आकुंचन में होता है।

शुद्ध क्षेत्रफल और क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण

b = 160 mm, h = 205 mm

A = BH − bh = 180·225 − 160·205 = 7700 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 5.599 × 10⁷ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या

r = √(I/A) = √(5.599 × 10⁷/7700) = 85.27 mm

उत्तर

r = 85.27 mm

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 66.23 MPa

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

वेब: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·135 + 1200·60)/8400 = 124.3 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 240·30³/12 + 7200·(135 − 124.3)² = 1.367 × 10⁶ mm⁴

वेब: 10·120³/12 + 1200·(60 − 124.3)² = 6.399 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.367 × 10⁶ + 6.399 × 10⁶ = 7.766 × 10⁶ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 150 − 124.3 = 25.71 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·25.71/7.766 × 10⁶ = 66.23 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 66.23 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −56.98 °

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = −20/49.24 = −0.4061, sin 2θ_s = −45/49.24 = −0.9138

2θ_s = atan2(−45, −20) = −114°

अवयव पर कोण

θ_s = −56.98°

जाँच: θ_s − θ_p = −56.98 − (−11.98) = −45°

उत्तर

θ_s = −56.98°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 2.814

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = −55 MPa, R = 42.72 MPa

σ₁ = −12.28 MPa, σ₂ = −97.72 MPa, σ₃ = 0

ट्रेस्का

σ_max − σ_min = 97.72 MPa

n = 275/97.72 = 2.814

उत्तर

n = 2.814

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 5.896 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 5.896 mm

उत्तर

δ = 5.896 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·70000·4.167) = 3.39 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 27.47 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN

उत्तर

P_cr = 27.47 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 157.4 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12.5 = 112

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157.4 MPa

उत्तर

σ_cr = 157.4 MPa

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