अक्षीय प्रतिबल और विकृति
- अभिलंब प्रतिबल
- σ = F/A
- विकृति
- ε = ΔL/L
- हुक का नियम
- σ = E·ε
- दीर्घीकरण
- ΔL = FL/(EA)
- तापीय विकृति
- εT = α·ΔT
पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
शाफ़्ट का मरोड़
- अपरूपण प्रतिबल
- τ = T·r/J
- ठोस शाफ़्ट
- J = πd⁴/32
- खोखला शाफ़्ट
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- मरोड़ कोण
- φ = TL/(GJ)
- शक्ति
- P = T·ω = 2πnT/60
विधि
- ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
- सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
- ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
- यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।
अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
- अपरूपण बल और आघूर्ण
- V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
- बंकन प्रतिबल
- σ = M·y/I
- आयत
- I = bh³/12
- खंड मापांक
- W = I/ymax
- सरल आधारित, एकसमान भार
- Mmax = wL²/8
विधि
- पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
- बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
- अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
- अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।
केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
- केंद्रक
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- आयत
- I = bh³/12
- समांतर अक्ष प्रमेय
- I = Ic + A·d²
- संयुक्त खंड
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
- केंद्र
- C = (σx + σy)/2
- त्रिज्या
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- मुख्य प्रतिबल
- σ1,2 = C ± R
- मुख्य दिशा
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- झुका हुआ तल
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
विधि
- मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
- त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
- मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
- वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।
बीम विक्षेप
- मध्य-विस्तार पर बिंदु भार
- δ = PL³/(48EI)
- एकसमान भार, सरल आधारित
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- कैंटिलीवर, सिरे पर भार
- δ = PL³/(3EI)
- कैंटिलीवर, एकसमान भार
- δ = wL⁴/(8EI)
- अध्यारोपण
- δ = δ1 + δ2
स्तंभ बकलिंग
- ऑयलर भार
- Pcr = π²EI/(KL)²
- प्रभावी लंबाई गुणांक
- K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
- क्रांतिक प्रतिबल
- σcr = Pcr/A
- पतलापन अनुपात
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2अभ्यास प्रश्न
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम
एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 110 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 150 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।
P = 150 kNछड़: Ø20 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन
एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 60 mm, लंबाई 400 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 40 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ2 का परिमाण ज्ञात कीजिए।
खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम
एक मरोड़ परीक्षण में 12 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 40 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 400 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 11.55° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।
T = 40 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 11.55°
G = GPa
4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन
एक ठोस शाफ़्ट को 750 rpm पर 100 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।
P = 100 kWN = 750 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम
सरल आलंबित बीम दो बिंदु भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण Mmax ज्ञात कीजिए।
L = 5 mP1 = 15 kN पर 1 mP2 = 80 kN पर 1.5 m
Mmax = kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन
आलंब A से x = 3 m पर खंड में बंकन आघूर्ण Mx ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।
L = 6 mP = 55 kN पर 2.5 mw = 12 kN/m, 0 से 6 m तकx = 3 m
Mx = kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम
एक सममित I-खंड के फ़्लेंज 120 mm चौड़े और 12 mm मोटे हैं, कुल गहराई 300 mm है और वेब 12 mm मोटा है। क्षैतिज केंद्रकीय अक्ष x के परितः बंकन के लिए उसका प्रत्यास्थ खंड मापांक Sx ज्ञात कीजिए।
B = 120 mmH = 300 mmtf = 12 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन
एक ढलवाँ लोहे के बीम का T-खंड चित्र जैसा है, फ़्लेंज ऊपर। स्वीकार्य प्रतिबल तनाव में 40 MPa और संपीडन में 100 MPa हैं। बीम द्वारा वहन किया जा सकने वाला सबसे बड़ा सैगिंग बंकन आघूर्ण Mallow ज्ञात कीजिए।
bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 120 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम
किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τmax ज्ञात कीजिए।
σx = 100 MPaσy = −70 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन
एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 110 MPa और τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 420 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।
σx = −50 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPaσY = 420 MPa
n =
11.बीम विक्षेपमध्यम
एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।
w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.बीम विक्षेपकठिन
एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण Ireq ज्ञात कीजिए।
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंगमध्यम
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार Pcr ज्ञात कीजिए।
L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm
Pcr = kN
14.स्तंभ बकलिंगकठिन
एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σcr ज्ञात कीजिए।
L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm
σcr = MPa
3विलयन
1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: δ = 0.06875 mm
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
क्षेत्रफल
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
संयुक्त अक्षीय कठोरता
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·9346 = 1.091 × 10⁹ N
संकुचन
δ = 150000·500/1.091 × 10⁹ = 0.06875 mm
उत्तर
δ = 0.06875 mm
2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति
उत्तर: σ2 = 9.94 MPa
दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, Pi = P·EiAi/ΣEA, और σi = Ei·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।
कठोरताएँ
k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm
खंड 2 का हिस्सा
F2 = 40000·494801/704240 = 28104 N
प्रतिबल
σ2 = 28104/2827 = 9.94 MPa (संपीडन)
उत्तर
σ2 = 9.94 MPa
3.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: G = 38.99 GPa
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
ध्रुवीय आघूर्ण और कोण
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 11.55·π/180 = 0.2016 rad
अपरूपण गुणांक
T = 40 N·m = 40000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 40000·400/(2036·0.2016) = 38988 MPa
G = 38.99 GPa
उत्तर
G = 38.99 GPa
तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।
4.शाफ़्ट का मरोड़
उत्तर: d = 47.63 mm
वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τmax = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(do⁴ − di⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।
बलाघूर्ण
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
अनुमेय प्रतिबल से व्यास
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·60)) = 47.63 mm
उत्तर
d = 47.63 mm
व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।
5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mmax = 94.5 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 80·1.5
RB = 135/5 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 27 = 68 kN
हर भार के नीचे आघूर्ण
हर भार के बाईं ओर का भाग रखें।
भार P1: M = RA·1 = 68·1 = 68 kN·m
भार P2: M = RB·3.5 = 27·3.5 = 94.5 kN·m
सबसे बड़ा मान
Mmax = 94.5 kN·m (भार P2)
उत्तर
Mmax = 94.5 kN·m
6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण
उत्तर: Mx = 122.8 kN·m
खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।
आलंब प्रतिक्रियाएँ
पूरे बीम का संतुलन।
वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है
ΣMA = 0: RB·6 = 55·2.5 + 12·6·3
RB = 353.5/6 = 58.92 kN
ΣFy = 0: RA = 127 − 58.92 = 68.08 kN
x = 3 m पर काटें और बायाँ भाग रखें
केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।
M = RA·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)
Mx = 68.08·3 − 55·(3 − 2.5) − 12·3·1.5 = 122.8 kN·m
उत्तर
Mx = 122.8 kN·m
7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Sx = 538.5 × 10³ mm³
क्षेत्रफल का द्वितीय आघूर्ण: आयत के लिए उसकी अपनी केंद्रकीय अक्ष के परितः I = bh³/12, और उसके आधार के परितः bh³/3 (समांतर अक्ष प्रमेय I = Ic + A·d²)। छिद्र को उसका I घटाकर संभाला जाता है, बशर्ते दोनों भागों की अक्ष एक ही हो। प्रत्यास्थ खंड मापांक S = I/c है, जहाँ c चरम तंतु तक की दूरी है।
बाहरी आयत में से दोनों पार्श्व कटाव घटाकर
दोनों कटाव मिलकर (B − tw) चौड़े और hw = H − 2tf ऊँचे हैं, और उनकी अक्ष x एक ही है।
hw = 300 − 2·12 = 276 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·300³ − 108·276³)/12
Ix = 8.078 × 10⁷ mm⁴
खंड मापांक
c = H/2 = 150 mm
Sx = I/c = 8.078 × 10⁷/150
Sx = 538525 mm³ = 538.5 × 10³ mm³
उत्तर
Sx = 538.5 × 10³ mm³
8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण
उत्तर: Mallow = 2.877 kN·m
संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।
केंद्रक
ȳ = (3600·130 + 1680·60)/5280 = 107.7 mm
ऊपरी कोर: c = 140 − 107.7 = 32.27 mm
क्षेत्र का द्वितीय आघूर्ण
I = 180·20³/12 + 3600·22.27² + 14·120³/12 + 1680·47.73² = 7.749 × 10⁶ mm⁴
हर कोर द्वारा अनुमत आघूर्ण
सैगिंग: ऊपरी भाग संपीडन में, निचला भाग तनाव में।
ऊपरी कोर: M = 100·7.749 × 10⁶/32.27 = 24.01 kN·m
निचली कोर: M = 40·7.749 × 10⁶/107.7 = 2.877 kN·m
निर्णायक मान
Mallow = min = 2.877 kN·m (निचली कोर)
उत्तर
Mallow = 2.877 kN·m
9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: τmax = 93.94 MPa
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
मोर वृत्त की त्रिज्या
τmax = R = √(((100 − −70)/2)² + −40²) = 93.94 MPa
उत्तर
τmax = 93.94 MPa
10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण
उत्तर: n = 2.348
समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σY तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σY/2 तक पहुँचे।
मुख्य प्रतिबल
C = 30 MPa, R = 89.44 MPa
σ1 = 119.4 MPa, σ2 = −59.44 MPa, σ3 = 0
ट्रेस्का
σmax − σmin = 178.9 MPa
n = 420/178.9 = 2.348
उत्तर
n = 2.348
n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।
11.बीम विक्षेप
उत्तर: δ = 44.02 mm
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
एकरूप इकाइयाँ
N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।
w = 20 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
विक्षेप
δ = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 44.02 mm
उत्तर
δ = 44.02 mm
12.बीम विक्षेप
उत्तर: Ireq = 46.02 × 10⁶ mm⁴
बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।
विक्षेप सीमा
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
आवश्यक जड़त्व आघूर्ण
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·8.333) = 4.602 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 46.02 × 10⁶ mm⁴
उत्तर
Ireq = 46.02 × 10⁶ mm⁴
13.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: Pcr = 8.478 kN
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
प्रभावी लंबाई
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
क्रांतिक भार
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1250² = 8478 N = 8.478 kN
उत्तर
Pcr = 8.478 kN
14.स्तंभ बकलिंग
उत्तर: σcr = 35.25 MPa
ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ Pcr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।
न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण
गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140
क्रांतिक प्रतिबल
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
उत्तर
σcr = 35.25 MPa
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