पदार्थ सामर्थ्य: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 14 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

केंद्रक: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
आयत: I = bh³/12
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_c + A·d²
संयुक्त खंड: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

2अभ्यास प्रश्न

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 40 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 85 kNखंड 1: Ø40 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 2 m, ताँबा (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 12 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 20 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 200 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 2.89° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 2.89°

G = GPa

4.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 750 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण M_A ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 2 mP = 80 kN पर 2 mw = 8 kN/m, 0 से 2 m तक

M_A = kN·m

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

15 kN @ 12 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णमध्यम

T-खंड का उसके केंद्रक से होकर क्षैतिज अक्ष x के परितः जड़त्व आघूर्ण I_x ज्ञात कीजिए।

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्णकठिन

T-खंड ऊपर फ़्लेंज के साथ बीम के रूप में उपयोग होता है और 25 kN·m का धनात्मक बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी किनारे पर बंकन प्रतिबल σ_ऊपर का परिमाण ज्ञात कीजिए।

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_ऊपर = MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = −40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

400 mm भीतरी व्यास और 6 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 2 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 60° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के साथ कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल |τ_n| का परिमाण ज्ञात कीजिए।

D = 400 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3विलयन

1.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 3537 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/113.1 = 353.7 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 353.7/100000 = 0.003537 = 3537 µε

उत्तर

ε = 3537 µε

2.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 422.8 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 67.64 MPa

σ₂ = 422.8 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 422.8 MPa

उत्तर

σ_max = 422.8 MPa

3.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 38.95 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 2.89·π/180 = 0.05044 rad

अपरूपण गुणांक

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0.05044) = 38955 MPa

G = 38.95 GPa

उत्तर

G = 38.95 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

4.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 55.33 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.273 × 10⁶·25/575243 = 55.33 MPa

उत्तर

τ_max = 55.33 MPa

5.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_A = −176 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −80·2 = −160 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_A = −160 − 16 = −176 kN·m

उत्तर

M_A = −176 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

6.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 8 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 15 kN, R₂ = 30 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 0, M_D = −30, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = −60 kN·m

7.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: I_x = 84.33 × 10⁶ mm⁴

संयुक्त क्षेत्रफल: खंड को आयतों में बाँटें। केंद्रक क्षेत्रफल-भारित औसत है ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ। केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण हर भाग के अपने bh³/12 और समांतर-अक्ष पद A·d² को जोड़ता है, जहाँ d भाग के केंद्रक से कुल केंद्रक की दूरी है। बंकन प्रतिबल σ = M·y/I है।

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

वेब: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·287.5 + 5600·140)/9200 = 197.7 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 240·15³/12 + 3600·(287.5 − 197.7)² = 2.909 × 10⁷ mm⁴

वेब: 20·280³/12 + 5600·(140 − 197.7)² = 5.524 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.909 × 10⁷ + 5.524 × 10⁷ = 8.433 × 10⁷ mm⁴ = 84.33 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_x = 84.33 × 10⁶ mm⁴

8.केंद्रक और जड़त्व आघूर्ण

उत्तर: σ_ऊपर = 78 MPa

दो आयतों में बाँटें

हर y को निचले किनारे से मापें।

फ़्लेंज: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

वेब: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

केंद्रक

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·135 + 2160·60)/7560 = 113.6 mm

समांतर अक्ष प्रमेय

फ़्लेंज: 180·30³/12 + 5400·(135 − 113.6)² = 2.885 × 10⁶ mm⁴

वेब: 18·120³/12 + 2160·(60 − 113.6)² = 8.791 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.885 × 10⁶ + 8.791 × 10⁶ = 1.168 × 10⁷ mm⁴

बंकन प्रतिबल

ऊपरी किनारा अक्ष से h − ȳ दूर है।

y = 150 − 113.6 = 36.43 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·36.43/1.168 × 10⁷ = 78 MPa

उत्तर

σ_ऊपर = 78 MPa

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −45 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−40, 40 − 40) = −90°

अवयव पर कोण

θ_p = −45°

उत्तर

θ_p = −45°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: |τ_n| = 14.43 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2·200/6 = 66.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 33.33 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

|τ_n| = (66.67 − 33.33)·sin 60°·cos 60° = 14.43 MPa

उत्तर

|τ_n| = 14.43 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 1.671 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.671 mm

उत्तर

δ_max = 1.671 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5.556) = 2.813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 89.96 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·1000 = 1000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1000² = 89957 N = 89.96 kN

उत्तर

P_cr = 89.96 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 17.77 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333.3

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa

उत्तर

σ_cr = 17.77 MPa

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